Anéis de pistão para motores de automóveis são produzidos por um processo de forja. Para estabelecer um controle estatístico para o diâmetro interno dos anéis produzidos por esse processo, foram usados os gráficos de !$ \bar{\text{x}} !$ e R. Vinte e cinco amostras, cada uma de tamanho 5, foram extraídas desse processo, quando se pensava que o mesmo estava sob controle. As medidas dos diâmetros internos para essas amostras foram obtidas, e o índice de capacidade - C_p foi 1,68. Então, o processo

Sejam X₁ e X₂ componentes de um vetor aleatório X, de dimensão 2 x 1, com distribuição normal multivariada. A condição necessária e suficiente para que X₁ + X₂ e X₁ – X₂ sejam independentes é que

Dividem-se aleatoriamente 12 lotes de terra em três grupos. O primeiro é mantido como grupo de controle (C), enquanto os outros dois recebem os fertilizantes A e B.

A tabela abaixo apresenta a ANOVA parcial do experimento.

Então, as constantes a, b e c são, respectiva e aproximadamente, iguais a

Considere o modelo de séries temporais especificado pela expressão

Y_t = 1,2Y + 0,5_t-1 + !$ \epsilon !$_t-1 !$ \epsilon !$_t

onde !$ \epsilon !$_t é um ruído branco normal, com média zero e variância constante. Com relação aos conceitos e propriedades de estacionariedade de segunda ordem e invertibilidade, pode-se afirmar que o modelo é

A tabela abaixo é um extrato da Tábua de Mortalidade do Brasil – Homens – 2006, onde l(x) é o número de sobreviventes à idade exata de x anos, de um coorte inicial de 100.000 nascimentos, l(0).

Assim, a probabilidade empírica de um homem de idade exata 30 anos vir a falecer antes de completar 55, aproximadamente, é

Um modelo de regressão linear simples de Y em X, com uma variável explicativa e o termo constante, foi estimado com 32 observações, gerando um R² de 0,25. No teste de validade do modelo, o F-calculado ou F-observado é igual a

Para suas análises econômicas e sociais, um pesquisador necessita ter uma estimativa da renda média familiar de uma população composta de 10 mil famílias. Com a finalidade de atender às necessidades do pesquisador, uma pesquisa de campo será realizada, e uma amostra aleatória simples será delineada e selecionada, sem reposição. Uma das exigências do pesquisador é que a estimativa a ser realizada, através da média amostral, difira da verdadeira média em, no máximo, R$ 20,00, e que isso ocorra com probabilidade de 95%. Assumindo-se que o desvio padrão da renda familiar seja de R$ 200,00, o tamanho da amostra, necessário para atender às exigências do pesquisador, no mínimo, deverá ser

Seja !$ \{ \text{X}_\text{n}; \text{n} \in \mathbb{N} \} !$ uma Cadeia de Markov com espaço de estados E = {1, 2}, matriz de transição em uma etapa dada por !$ \begin{bmatrix} ^3/_4 & ^1/_4 \\ ^1/_2 & ^1/_2 \end{bmatrix} !$ e vetor de probabilidades iniciais igual a !$ \begin{bmatrix} ^1/_3 & ^2/_3 \end{bmatrix} !$. Então P(X₂ = 2) é igual a

Considere o clássico problema da ruína do jogador A que, em cada etapa do jogo, tem probabilidade p de vencer e ganhar uma unidade do capital de seu adversário, cuja probabilidade de vencer é q = 1 - p. As etapas do jogo são independentes, o capital inicial de A é igual a z, e o de B é igual a a-z. O jogo termina quando um dos jogadores se arruína.

A probabilidade q_z de ruína do jogador A pode ser obtida através da solução de uma equação de diferenças finitas de segunda ordem da forma

q_z = qq_z-1 + pq_z+1 !$ \quad\quad !$ 0 !$ \le !$ z !$ \le !$ a

A solução desta equação envolverá duas constantes, que serão determinadas a partir da consideração de dois valores iniciais da função q_z, que são

Seja !$ \{ \text{X}_\text{t}; \text{t} \in \mathfrak{R} \} !$ um processo estocástico de Poisson de parâmetro !$ \lambda !$, ou seja, X_t se identifica ao número de eventos aleatórios E, que ocorrem no intervalo de tempo (0,t]. Seja T o tempo eventual decorrido entre um instante inicial 0 e a primeira ocorrência do evento E, regulado por uma lei de Poisson (!$ \lambda !$). A variável aleatória T tem distribuição