Se ε tem distribuição normal bivariada, com vetor de médias zero e matriz de covariância σ² I₂ , onde I₂ é a matriz identidade de ordem 2, então o estimador de mínimos quadrados de β tem distribuição normal n-variada com matriz de covariância e n dados, respectivamente, por

Sabe-se que a variável aleatória X é bi-modal para x = 1 e x = 2 e que tem distribuição de Poisson. Sabendo que X é diferente de zero, a probabilidade de X assumir um valor menor do que 3 é dada por

Suponha que a amostra 2; 1; 4; 6; 12 seja proveniente de uma população com função de densidade f(x) = 1/λ, 0 < x < λ. Os estimadores de máxima verossimilhança da média e da variância da população são dados, respectivamente, por

Se uma série temporal tem como processo gerador um modelo estacionário, qual dos modelos abaixo serviria para gerar a série, considerando que, em todos os modelos, et é o ruído branco de média zero e variância 1?

Na transmissão de informação digital, a probabilidade de um bit recebido é classificado como aceitável, suspeito ou inaceitável, dependendo da qualidade do sinal recebido, com probabilidades iguais a 0,8; 0,10 e 0,10, respectivamente. Suponha que as classificações de cada bit sejam independentes. Nos quatro primeiros bits recebidos, seja X o número de bits aceitáveis e Y o número de bits suspeitos. Então P (X = 2, Y = 1) é dada por

Seja ρ o coeficiente de correlação entre as variáveis aleatórias X e Y. Se Z = aX + b e U = cY + d, onde a > 0 e c < 0, então os coeficientes de correlação entre Z e U e entre U e Y são dados, respectivamente, por

Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por:

f(x)=!$ \begin{Bmatrix} \dfrac{e^{-x/4}}{4}& se & x & \geq 0 \\ 0, & & caso & contrario \\ \end{Bmatrix} !$

A temperatura T de destilação do petróleo é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [150, 300]. Seja C o custo para se produzir um galão de petróleo. Determine o lucro esperado por galão, supondo que o preço de venda por galão é uma variável aleatória Y dada por:

Y=!$ \begin{Bmatrix} a, & se & T\geq &200 \\ b & se& T < & 200 \\ \end{Bmatrix} !$

Uma corretora de ações, que opera numa certa Bolsa de Valores, faz aplicações financeiras de compra e venda de ações nas áreas Industrial e Comercial, e faz uso de um modelo de probabilidades para a avaliação de seus lucros. O modelo que representa o lucro diário da corretora (em milhares de reais) é dado por:

L = 2 L_I + 3 L_C,

onde

L_I = lucro diário da área Industrial tem distribuição normal com média 5 e variância 16,

L_C = lucro diário da área Comercial tem distribuição normal com média 4 e variância 4.

Supondo independência entre as duas variáveis que compõem L, a probabilidade de um lucro diário superior a 37 mil é

Seja W = (X, Y), uma variável aleatória com distribuição normal bivariada com vetor de médias µ = !$ \begin{pmatrix} µ & X \\ µ & Y \\ \end{pmatrix} !$ e matriz de covariâncias !$ \begin{pmatrix} 40 & 0 \\ 0 & 60 \\ \end{pmatrix} !$ . Para uma amostra aleatória simples (X_i , Y_i ), i = 1, 2, ..., n da distribuição de W, sejam !$ \overline{X} !$ = !$ \dfrac{\sum_{I=1}^n\ X_1}{n} !$ !$ \dfrac{\sum_{i=1}^n}{n} !$ e !$ \overline{Y} !$ = !$ \dfrac{\sum_{i=1}^n\ \ ^{^{Y_1}}}{n} !$.

O valor aproximado de n para que a diferença, em valor absoluto, entre (!$ \overline{X} !$ - !$ \overline{Y} !$ ) e (µ_X − µ_Y ) seja superior a 2, com probabilidade de 18%, é