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Sabe-se, pelo Teorema de Tchebichev, que a probabilidade mínima de que uma variável aleatória X pertença ao intervalo
(m − 1, m + 1) é igual a 75%. Se a média de X é m, então a variância de X é igual a
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Em uma sala estão presentes algumas pessoas e somente duas delas têm nível superior, sendo que o número de pessoas sem
nível superior é desconhecido e sabendo-se apenas que é um número par. Foram selecionadas, desta sala, aleatoriamente, com
reposição, 4 pessoas verificando-se que 3 delas não têm nível superior. Com base nesta seleção e utilizando o método da
máxima verossimilhança encontra-se a estimativa do número de pessoas sem nível superior. Com isto, o número estimado total
de pessoas presentes na sala é igual a
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A partir de uma amostra aleatória correspondente a uma variável aleatória X uniformemente distribuída com função densidade
f(x) = 1/b-a , (b > a), em (a, b), determinou-se pelo método dos momentos as estimativas pontuais dos parâmetros a e b, ou
seja, a* e b*, respectivamente.
Obteve-se então que (a*, b*) é igual a
Dados da amostra: Tamanho: 10 Primeiro momento: 3,00 Segundo momento: 9,03
Dados da amostra: Tamanho: 10 Primeiro momento: 3,00 Segundo momento: 9,03
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Sejam duas variáveis aleatórias X e Y, normalmente distribuídas, com as populações de tamanho infinito e médias μX e μY,
respectivamente. Uma amostra aleatória de tamanho 64 foi extraída da população de X, apresentando um intervalo de confiança
[1, 5] para μX, ao nível de confiança (1 − α). Uma outra amostra aleatória de tamanho 144 foi extraída da população de Y,
independente da primeira, apresentando um intervalo de confiança [4, 10] para μY, também ao nível de confiança de (1 − α). Se
σX e σY são os desvios padrões populacionais de X e Y, respectivamente, então σY/σX apresenta um valor igual a
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De uma população normalmente distribuída, de tamanho infinito e variância desconhecida, é extraída uma amostra aleatória de
tamanho 16 fornecendo um intervalo de confiança de (1 − α) igual a [4,91; 11,30] para a média μ da população. A variância
amostral apresentou um valor igual a 36 e considerou-se a distribuição t de Student para obtenção do intervalo de confiança.
Consultando a tabela da distribuição t de Student com o respectivo número de graus de liberdade e verificando o valor crítico tα/2
tal que a probabilidade P(|t| > tα/2) = α, obtém-se que tα/2 é igual a
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Uma amostra aleatória de tamanho 100 é extraída de uma população P1 de tamanho infinito, com média μ1, normalmente
distribuída e com desvio padrão populacional igual a 2. Uma outra amostra aleatória, independente da primeira, de tamanho 400
é extraída de uma outra população P2 de tamanho infinito, com média μ2, normalmente distribuída e com desvio padrão
populacional igual a 3. Considerando que na curva normal padrão (Z) as probabilidades P(Z > 1,64) = 0,05 e P(Z > 1,28) = 0,10 e
que as médias das amostras tomadas de P1 e P2 foram iguais a 10 e 8, respectivamente, obtém-se que o intervalo de confiança
de 90% para (μ1 − μ2) é
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Em um processo de fabricação de um equipamento admite-se que 10% saem defeituosos quando este processo está sob controle.
Para testar se o processo está sob controle são escolhidos aleatoriamente, com reposição, 4 equipamentos da produção,
tomando-se como decisão que o processo está fora de controle se o número de equipamentos defeituosos for maior que 2.
Chamando de p a proporção de equipamentos defeituosos e considerando as hipóteses H0: p = 0,1 (hipótese nula) e H1: p = 0,2
(hipótese alternativa), obtém-se que o nível de significância do teste e a potência do teste são, respectivamente,
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Com a utilização do teste do qui-quadrado, deseja-se averiguar se a variância (σ2) de uma população normalmente distribuída e
de tamanho infinito é igual a 2. Uma amostra aleatória de tamanho 19 é extraída desta população obtendo-se uma variância
amostral igual a 2,25. Foram formuladas então as hipóteses H0: σ2 = 2 (hipótese nula) e H1: σ2 ≠ 2 (hipótese alternativa).
Admitindo-se um nível de significância α e efetuando-se o teste de significância bilateral, tem-se, com base nos dados da
amostra, que o valor da estatística x2calc (qui-quadrado calculado) utilizado para a conclusão do teste é igual a
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Uma amostra aleatória de tamanho 7 foi extraída, com reposição, de uma população e abaixo foram registrados os valores da
amostra (em ordem crescente). {6,25; 6,55; 6,90; 7,05; 7,10; 7,20; 7,25}
Sabendo-se que o intervalo [6,55; 7,20] constitui um intervalo de confiança da mediana da respectiva população, então o nível de confiança deste intervalo é igual a
Sabendo-se que o intervalo [6,55; 7,20] constitui um intervalo de confiança da mediana da respectiva população, então o nível de confiança deste intervalo é igual a
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Em determinada empresa existem 3 departamentos A, B e C com 10, 6 e 4 funcionários, respectivamente. Uma comissão de
3 funcionários será selecionada dentre todos os 20 funcionários com o objetivo de estabelecer regras de melhoria relativas a
acidentes de trabalho na empresa. Se a seleção for aleatória, a probabilidade da comissão ser constituída por dois funcionários
de A e um de C é igual a
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