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Dados dois pontos distintos, F1 e F2 , e uma reta r, não contendo F1, todos no mesmo plano α, seja m a distância entre os dois pontos. Considere os seguintes conjuntos:
I. Conjunto de todos os pontos do plano α que estão à mesma distância de F1 e r.
II. Conjunto de todos os pontos do plano α cuja soma das distâncias a F1 e F2 é a constante n > m.
III. Conjunto de todos os pontos do plano α cuja diferença, em valor absoluto, das distâncias a F1 e F2 é a constante 0 < n < m.
Os conjuntos I, II e III são, respectivamente, denominados
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Considere o seguinte sistema linear:
!$ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x +b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases} !$
Se !$ \dfrac{a_1}{a_3}=\dfrac{b_1}{b_3}=\dfrac{c_1}{c_3}=\dfrac{d_1}{d_3} e \dfrac{a_2}{a_3}\ne \dfrac{b_2}{b_3} \ne \dfrac{c_2}{c_3} \ne \dfrac{d_2}{d_3} !$, então é correto afirmar, sobre o sistema, que ele é
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Utilize a informação a seguir para responder às questões de números 39 e 40.
Considere que a meia-vida de uma substância radioativa seja o tempo necessário para que a massa dessa substância seja reduzida à metade, e que a função M: ℝ+ → ℝ, dada por y = M(t), calcule a massa m dessa substância em função do tempo t, dado em dias, a partir de uma massa inicial m0 , com m e m0 em gramas.
A meia-vida de uma substância radioativa é de 30 dias. Considerando-se log 2 = 0,3; log 5 = 0,7; e uma massa inicial de 8 gramas dessa substância, é correto afirmar que ela estará reduzida a 5 gramas no
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Utilize a informação a seguir para responder às questões de números 39 e 40.
Considere que a meia-vida de uma substância radioativa seja o tempo necessário para que a massa dessa substância seja reduzida à metade, e que a função M: ℝ+ → ℝ, dada por y = M(t), calcule a massa m dessa substância em função do tempo t, dado em dias, a partir de uma massa inicial m0 , com m e m0 em gramas.
Supondo-se uma substância radioativa com meia-vida de 10 dias, a sequência numérica a1 = M(10), a2 = M(20), a3 = M(30), ..., an = M(10n), com n inteiro estritamente positivo, é uma progressão
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Do total de 20 docentes de um curso, sendo 15 contratados no concurso de 2020 e 5 contratados no concurso de 2022, será escolhido, de forma aleatória, um grupo contendo 4 docentes. Se nesse grupo deve haver, pelo menos, um docente de cada concurso, então o número total de possibilidades para se fazer essa escolha é igual a
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Leia o trecho a seguir e, utilizando a função f, responda às questões de números 34 e 35.
Considere a função f: [0,24] → ℝ, representada algebricamente por:
y = f(t) = 0,85 + 0,85 . sen !$ \begin{pmatrix} \dfrac{\pi}{6,05}t -19\dfrac{\pi}{242} \end{pmatrix} !$
A função f apresentada foi o modelo matemático identificado por alguns alunos de uma faculdade no Paraná, em uma pesquisa que observou as marés em determinado dia e local, na cidade de Paranaguá. Nessa função, y = f(t) representa a altura da maré, em metros, no horário t, em horas.
(http://www.utfpr.edu.br/toledo/estrutura-universitaria/diretorias/ dirppg/encontro-de-iniciacao-cientifica-do-campus-toledo/ LeandroMichelsonartigocompleto.pdf)
Outra situação real que pode ser abordada por meio do modelo apresentado é a identificação dos horários em que a maré atingiu determinada altura. Neste caso, o primeiro momento do dia em que foi observada a altura de 0,85 m da maré foi às
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Leia o trecho a seguir e, utilizando a função f, responda às questões de números 34 e 35.
Considere a função f: [0,24] → ℝ, representada algebricamente por:
y = f(t) = 0,85 + 0,85 . sen !$ \begin{pmatrix} \dfrac{\pi}{6,05}t -19\dfrac{\pi}{242} \end{pmatrix} !$
A função f apresentada foi o modelo matemático identificado por alguns alunos de uma faculdade no Paraná, em uma pesquisa que observou as marés em determinado dia e local, na cidade de Paranaguá. Nessa função, y = f(t) representa a altura da maré, em metros, no horário t, em horas.
(http://www.utfpr.edu.br/toledo/estrutura-universitaria/diretorias/ dirppg/encontro-de-iniciacao-cientifica-do-campus-toledo/ LeandroMichelsonartigocompleto.pdf)
Uma das formas de dar sentido à Matemática é mostrar aplicações no cotidiano. Utilizando-se modelo matemático apresentado, um professor pode abordar algumas situações reais, como a identificação da maior altura que a maré atingiu, no dia da observação. Essa altura foi de
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Para introduzir o conceito de função quadrática, um docente decidiu utilizar a ideia de proporcionalidade. Para tanto, ele apresentou aos seus alunos a seguinte situação:
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Após várias pesquisas em laboratório, identificou-se que o número y de indivíduos em uma colônia de bactérias cresce até um valor máximo m e, a partir daí, ele começa a cair, em que y = f(x) representa o número de indivíduos após x horas do início do experimento, com y = f(0) representando o número inicial de indivíduos. Sabendo-se que existe um horário n, tal que a razão entre a diferença y – m e o quadrado da diferença x – n permanece constante e diferente de zero, tem-se, sendo k essa constante: !$ \begin{matrix} \dfrac{y-m}{(x-n)^2}=k \\ y-m=k.(x-n)^2 \\ y=k.(x-n)^2 + m \end{matrix} !$ |
Após abordar a forma canônica da função quadrática, o professor conduziu sua aula de modo a associar a forma canônica com a forma tradicionalmente trabalhada dessa função, ou seja, a forma y = ax2 + bx + c. Para tanto, ele propôs a seguinte situação:
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Sabe-se que, para k = 1, os pares ordenados (2, 7) e (3, 12) satisfazem a forma canônica de uma função quadrática. Nesse caso, colocando-se a função na forma y = ax2 + bx + c, qual será o valor do coeficiente b? |
A resposta esperada pelo professor é
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Para introduzir o conceito de função quadrática, um docente decidiu utilizar a ideia de proporcionalidade. Para tanto, ele apresentou aos seus alunos a seguinte situação:
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Após várias pesquisas em laboratório, identificou-se que o número y de indivíduos em uma colônia de bactérias cresce até um valor máximo m e, a partir daí, ele começa a cair, em que y = f(x) representa o número de indivíduos após x horas do início do experimento, com y = f(0) representando o número inicial de indivíduos. Sabendo-se que existe um horário n, tal que a razão entre a diferença y – m e o quadrado da diferença x – n permanece constante e diferente de zero, tem-se, sendo k essa constante: !$ \begin{matrix} \dfrac{y-m}{(x-n)^2}=k \\ y-m=k.(x-n)^2 \\ y=k.(x-n)^2 + m \end{matrix} !$ |
A representação algébrica y = k ⋅ (x – n)2 + m é conhecida como forma canônica da função quadrática, sendo que os números k, n e m têm relação direta com a parábola que representa graficamente a função. Com o objetivo de chamar a atenção para uma das importâncias da forma canônica apresentada, o professor conduziu a aula para que os alunos chegassem à conclusão correta que
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Um professor definiu aos seus alunos a Lei dos Senos, ou seja, partindo-se de um triângulo em que os ângulos internos medem
!$ (\hat{A},\,\hat{B}\,\,\text{e}\,\,\hat{C}) !$ e os lados opostos a esses ângulos medem, respectivamente, a, b, e c, é válida a seguinte relação:
!$ \dfrac{a}{sen(\hat A)}=\dfrac{b}{sen(\hat B)}=\dfrac{c}{sen(\hat C)} !$
Ao demonstrar a relação, o professor utilizou alguns recursos que permitiram associar, numericamente, a constante resultante da Lei dos Senos ao valor do
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