Considere duas placas planas, paralelas, com área superficial S e distância entre as placas d, carregadas uniformemente com cargas –Q e Q, respectivamente, em que Q > 0. Para representar as grandezas relevantes nesse problema, considere, também, um sistema de coordenadas cartesiano tridimensional (x, y, z) com origem em um ponto O localizado na placa carregada negativamente. A figura a seguir representa o plano (x, y) correspondente à região z = 0, que é perpendicular aos planos das placas carregadas. A direção do eixo z é tal que !$ \vec{z}=\vec{x} \times \vec{y} !$. Na representação da figura, a placa positiva é a da direita, e ela é um ímã.

Considere que na região à direita da placa positiva existe um campo magnético uniforme !$ \vec{B}=B_z\vec{z}. !$ e que, no instante inicial t = 0, uma carga negativa q esteja muito próxima da origem O, com velocidade !$ \vec{v}_0 !$, na direção !$ \vec{y} !$. Essa carga, então, movimenta-se exclusivamente sob a ação do campo elétrico ⃗ gerado pelas placas até atingir a placa positiva no ponto A. Ela atravessa, então, a placa positiva e passa para a região onde existe o campo magnético. Para fins de cálculo do campo elétrico gerado pelas placas, considere que essas sejam grandes o suficiente para que possam ser consideradas como planos infinitos. Para descrever o movimento da carga, considere sua posição inicial como sendo a origem O. Considere, também, que o estado dinâmico da carga imediatamente antes de atravessar a placa positiva seja igual ao seu estado dinâmico imediatamente após atravessá-la.

Com base na situação hipotética apresentada, julgue o item que se segue.

Considerando-se que !$ \vec{E} !$ seja o campo elétrico uniforme na região 0 < x < d entre as placas, as coordenadas do ponto A são dadas por (x_A, y_A, 0), com xA = d e !$ y_A = v_0 (\dfrac{m}{|q|}\dfrac{d}{|\vec{E}|}) !$

Considere duas placas planas, paralelas, com área superficial S e distância entre as placas d, carregadas uniformemente com cargas –Q e Q, respectivamente, em que Q > 0. Para representar as grandezas relevantes nesse problema, considere, também, um sistema de coordenadas cartesiano tridimensional (x, y, z) com origem em um ponto O localizado na placa carregada negativamente. A figura a seguir representa o plano (x, y) correspondente à região z = 0, que é perpendicular aos planos das placas carregadas. A direção do eixo z é tal que !$ \vec{z}=\vec{x} \times \vec{y} !$. Na representação da figura, a placa positiva é a da direita, e ela é um ímã.

Considere que na região à direita da placa positiva existe um campo magnético uniforme !$ \vec{B}=B_z\vec{z}. !$ e que, no instante inicial t = 0, uma carga negativa q esteja muito próxima da origem O, com velocidade !$ \vec{v}_0 !$, na direção !$ \vec{y} !$. Essa carga, então, movimenta-se exclusivamente sob a ação do campo elétrico ⃗ gerado pelas placas até atingir a placa positiva no ponto A. Ela atravessa, então, a placa positiva e passa para a região onde existe o campo magnético. Para fins de cálculo do campo elétrico gerado pelas placas, considere que essas sejam grandes o suficiente para que possam ser consideradas como planos infinitos. Para descrever o movimento da carga, considere sua posição inicial como sendo a origem O. Considere, também, que o estado dinâmico da carga imediatamente antes de atravessar a placa positiva seja igual ao seu estado dinâmico imediatamente após atravessá-la.

Com base na situação hipotética apresentada, julgue o item que se segue.

Depois de atravessar a placa positiva no ponto A, a carga q descreverá um movimento circular cujo raio é !$ R=\dfrac{m}{q}\dfrac{\sqrt{2\dfrac{|q|}{m}|\vec{E}|d+v^2_0}}{|vec{B}|} !$

Um foguete é lançado da superfície da Terra em um processo de três estágios, conforme descritos a seguir e esquematicamente ilustrados na figura anterior.

• Estágio 1 – O foguete é acelerado uniformemente até o ponto A, de altura h_A, com uma aceleração !$ \vec{a} !$, cujo módulo é igual ao valor da aceleração da gravidade g na superfície da Terra.

• Estágio 2 – O foguete mantém-se em movimento retilíneo uniforme vertical ascendente até o ponto B, de altura h_B.

• Estágio 3 – O foguete faz uma curva circular de raio RC até o ponto C, de tal modo que sua direção de movimento sofra uma alteração de 90 graus. O módulo de sua velocidade permanece constante e igual ao módulo da velocidade do foguete no estágio 2.

velocidade do foguete nos estágios 2 e 3 é representada por !$ \vec{v} !$. Nos três estágios, atuam sempre sobre o foguete a sua força de impulsão !$ \vec{F} !$ e a força !$ \vec{P} !$, devido à atração gravitacional da Terra. No estágio 1, além dessas forças, atua, também, uma força de resistência do ar !$ \vec{R} !$, que sempre aponta na direção contrária à direção do movimento. Depois do estágio 3, o foguete fica livre e sob a ação apenas da força gravitacional da Terra. Nessa fase, a posição do foguete pode ser descrita a partir de sua distância !$ r !$ até o centro da Terra e o ângulo polar !$ \theta !$ entre a direção da linha radial que liga o centro da Terra até o foguete, e a direção do foguete ao final do estágio 3. As massas da Terra e do foguete são, respectivamente, representadas por m_T e m_f. A massa da Terra está distribuída, uniformemente, em uma esfera de raio R. As distâncias indicadas nos estágios 1, 2 e 3, em função do raio da Terra R, são, respectivamente, h_A = 0,02 R, h_B = 5 R e R_C = R.

Acerca dessa situação hipotética e considerando-se que a massa do foguete permanece constante ao longo de seu movimento, que a aceleração da gravidade g valha 10 m/s² e que o raio da Terra R seja igual a 6.500 km, julgue o item subsecutivo.

A conservação do momento angular implica que a velocidade angular !$ \omega = |\theta| !$ seja dada por !$ \omega = \dfrac{7R}{r^2}|\vec{v}| !$, quando o foguete sai do estágio 3.

Um foguete é lançado da superfície da Terra em um processo de três estágios, conforme descritos a seguir e esquematicamente ilustrados na figura anterior.

• Estágio 1 – O foguete é acelerado uniformemente até o ponto A, de altura h_A, com uma aceleração !$ \vec{a} !$, cujo módulo é igual ao valor da aceleração da gravidade g na superfície da Terra.

• Estágio 2 – O foguete mantém-se em movimento retilíneo uniforme vertical ascendente até o ponto B, de altura h_B.

• Estágio 3 – O foguete faz uma curva circular de raio RC até o ponto C, de tal modo que sua direção de movimento sofra uma alteração de 90 graus. O módulo de sua velocidade permanece constante e igual ao módulo da velocidade do foguete no estágio 2.

velocidade do foguete nos estágios 2 e 3 é representada por !$ \vec{v} !$. Nos três estágios, atuam sempre sobre o foguete a sua força de impulsão !$ \vec{F} !$ e a força !$ \vec{P} !$, devido à atração gravitacional da Terra. No estágio 1, além dessas forças, atua, também, uma força de resistência do ar !$ \vec{R} !$, que sempre aponta na direção contrária à direção do movimento. Depois do estágio 3, o foguete fica livre e sob a ação apenas da força gravitacional da Terra. Nessa fase, a posição do foguete pode ser descrita a partir de sua distância !$ r !$ até o centro da Terra e o ângulo polar !$ \theta !$ entre a direção da linha radial que liga o centro da Terra até o foguete, e a direção do foguete ao final do estágio 3. As massas da Terra e do foguete são, respectivamente, representadas por m_T e m_f. A massa da Terra está distribuída, uniformemente, em uma esfera de raio R. As distâncias indicadas nos estágios 1, 2 e 3, em função do raio da Terra R, são, respectivamente, h_A = 0,02 R, h_B = 5 R e R_C = R.

Acerca dessa situação hipotética e considerando-se que a massa do foguete permanece constante ao longo de seu movimento, que a aceleração da gravidade g valha 10 m/s² e que o raio da Terra R seja igual a 6.500 km, julgue o item subsecutivo.

A condição para que o foguete escape de uma órbita fechada em torno da Terra e se afaste indefinidamente dela é dada por !$ |vec{a}| \ge \dfrac{50}{\sqrt{50}}g !$

Um foguete é lançado da superfície da Terra em um processo de três estágios, conforme descritos a seguir e esquematicamente ilustrados na figura anterior.

• Estágio 1 – O foguete é acelerado uniformemente até o ponto A, de altura h_A, com uma aceleração !$ \vec{a} !$, cujo módulo é igual ao valor da aceleração da gravidade g na superfície da Terra.

• Estágio 2 – O foguete mantém-se em movimento retilíneo uniforme vertical ascendente até o ponto B, de altura h_B.

• Estágio 3 – O foguete faz uma curva circular de raio RC até o ponto C, de tal modo que sua direção de movimento sofra uma alteração de 90 graus. O módulo de sua velocidade permanece constante e igual ao módulo da velocidade do foguete no estágio 2.

velocidade do foguete nos estágios 2 e 3 é representada por !$ \vec{v} !$. Nos três estágios, atuam sempre sobre o foguete a sua força de impulsão !$ \vec{F} !$ e a força !$ \vec{P} !$, devido à atração gravitacional da Terra. No estágio 1, além dessas forças, atua, também, uma força de resistência do ar !$ \vec{R} !$, que sempre aponta na direção contrária à direção do movimento. Depois do estágio 3, o foguete fica livre e sob a ação apenas da força gravitacional da Terra. Nessa fase, a posição do foguete pode ser descrita a partir de sua distância !$ r !$ até o centro da Terra e o ângulo polar !$ \theta !$ entre a direção da linha radial que liga o centro da Terra até o foguete, e a direção do foguete ao final do estágio 3. As massas da Terra e do foguete são, respectivamente, representadas por m_T e m_f. A massa da Terra está distribuída, uniformemente, em uma esfera de raio R. As distâncias indicadas nos estágios 1, 2 e 3, em função do raio da Terra R, são, respectivamente, h_A = 0,02 R, h_B = 5 R e R_C = R.

Acerca dessa situação hipotética e considerando-se que a massa do foguete permanece constante ao longo de seu movimento, que a aceleração da gravidade g valha 10 m/s² e que o raio da Terra R seja igual a 6.500 km, julgue o item subsecutivo.

Para o módulo da aceleração !$ \vec{a} !$, no estágio 1, deve existir um valor que implique que o foguete descreva uma órbita circular em torno do centro da Terra a partir do ponto C.

Um foguete é lançado da superfície da Terra em um processo de três estágios, conforme descritos a seguir e esquematicamente ilustrados na figura anterior.

• Estágio 1 – O foguete é acelerado uniformemente até o ponto A, de altura h_A, com uma aceleração !$ \vec{a} !$, cujo módulo é igual ao valor da aceleração da gravidade g na superfície da Terra.

• Estágio 2 – O foguete mantém-se em movimento retilíneo uniforme vertical ascendente até o ponto B, de altura h_B.

• Estágio 3 – O foguete faz uma curva circular de raio RC até o ponto C, de tal modo que sua direção de movimento sofra uma alteração de 90 graus. O módulo de sua velocidade permanece constante e igual ao módulo da velocidade do foguete no estágio 2.

velocidade do foguete nos estágios 2 e 3 é representada por !$ \vec{v} !$. Nos três estágios, atuam sempre sobre o foguete a sua força de impulsão !$ \vec{F} !$ e a força !$ \vec{P} !$, devido à atração gravitacional da Terra. No estágio 1, além dessas forças, atua, também, uma força de resistência do ar !$ \vec{R} !$, que sempre aponta na direção contrária à direção do movimento. Depois do estágio 3, o foguete fica livre e sob a ação apenas da força gravitacional da Terra. Nessa fase, a posição do foguete pode ser descrita a partir de sua distância !$ r !$ até o centro da Terra e o ângulo polar !$ \theta !$ entre a direção da linha radial que liga o centro da Terra até o foguete, e a direção do foguete ao final do estágio 3. As massas da Terra e do foguete são, respectivamente, representadas por m_T e m_f. A massa da Terra está distribuída, uniformemente, em uma esfera de raio R. As distâncias indicadas nos estágios 1, 2 e 3, em função do raio da Terra R, são, respectivamente, h_A = 0,02 R, h_B = 5 R e R_C = R.

Acerca dessa situação hipotética e considerando-se que a massa do foguete permanece constante ao longo de seu movimento, que a aceleração da gravidade g valha 10 m/s² e que o raio da Terra R seja igual a 6.500 km, julgue o item subsecutivo.

O trabalho W realizado pela força !$ |vec{F}| !$ entre os pontos A e C é dado por !$ W=mgR\dfrac{100\sqrt{50}-102}{102\sqrt{50}} !$

Um foguete é lançado da superfície da Terra em um processo de três estágios, conforme descritos a seguir e esquematicamente ilustrados na figura anterior.

• Estágio 1 – O foguete é acelerado uniformemente até o ponto A, de altura h_A, com uma aceleração !$ \vec{a} !$, cujo módulo é igual ao valor da aceleração da gravidade g na superfície da Terra.

• Estágio 2 – O foguete mantém-se em movimento retilíneo uniforme vertical ascendente até o ponto B, de altura h_B.

• Estágio 3 – O foguete faz uma curva circular de raio RC até o ponto C, de tal modo que sua direção de movimento sofra uma alteração de 90 graus. O módulo de sua velocidade permanece constante e igual ao módulo da velocidade do foguete no estágio 2.

velocidade do foguete nos estágios 2 e 3 é representada por !$ \vec{v} !$. Nos três estágios, atuam sempre sobre o foguete a sua força de impulsão !$ \vec{F} !$ e a força !$ \vec{P} !$, devido à atração gravitacional da Terra. No estágio 1, além dessas forças, atua, também, uma força de resistência do ar !$ \vec{R} !$, que sempre aponta na direção contrária à direção do movimento. Depois do estágio 3, o foguete fica livre e sob a ação apenas da força gravitacional da Terra. Nessa fase, a posição do foguete pode ser descrita a partir de sua distância !$ r !$ até o centro da Terra e o ângulo polar !$ \theta !$ entre a direção da linha radial que liga o centro da Terra até o foguete, e a direção do foguete ao final do estágio 3. As massas da Terra e do foguete são, respectivamente, representadas por m_T e m_f. A massa da Terra está distribuída, uniformemente, em uma esfera de raio R. As distâncias indicadas nos estágios 1, 2 e 3, em função do raio da Terra R, são, respectivamente, h_A = 0,02 R, h_B = 5 R e R_C = R.

Acerca dessa situação hipotética e considerando-se que a massa do foguete permanece constante ao longo de seu movimento, que a aceleração da gravidade g valha 10 m/s² e que o raio da Terra R seja igual a 6.500 km, julgue o item subsecutivo.

A energia mecânica E do foguete no ponto C é dada por !$ E=mgR(\dfrac{2}{100}-\dfrac{1}{\sqrt{50}}) !$, e a órbita do satélite em torno do centro da Terra tem a forma de uma elipse.

Um foguete é lançado da superfície da Terra em um processo de três estágios, conforme descritos a seguir e esquematicamente ilustrados na figura anterior.

• Estágio 1 – O foguete é acelerado uniformemente até o ponto A, de altura h_A, com uma aceleração !$ \vec{a} !$, cujo módulo é igual ao valor da aceleração da gravidade g na superfície da Terra.

• Estágio 2 – O foguete mantém-se em movimento retilíneo uniforme vertical ascendente até o ponto B, de altura h_B.

• Estágio 3 – O foguete faz uma curva circular de raio RC até o ponto C, de tal modo que sua direção de movimento sofra uma alteração de 90 graus. O módulo de sua velocidade permanece constante e igual ao módulo da velocidade do foguete no estágio 2.

velocidade do foguete nos estágios 2 e 3 é representada por !$ \vec{v} !$. Nos três estágios, atuam sempre sobre o foguete a sua força de impulsão !$ \vec{F} !$ e a força !$ \vec{P} !$, devido à atração gravitacional da Terra. No estágio 1, além dessas forças, atua, também, uma força de resistência do ar !$ \vec{R} !$, que sempre aponta na direção contrária à direção do movimento. Depois do estágio 3, o foguete fica livre e sob a ação apenas da força gravitacional da Terra. Nessa fase, a posição do foguete pode ser descrita a partir de sua distância !$ r !$ até o centro da Terra e o ângulo polar !$ \theta !$ entre a direção da linha radial que liga o centro da Terra até o foguete, e a direção do foguete ao final do estágio 3. As massas da Terra e do foguete são, respectivamente, representadas por m_T e m_f. A massa da Terra está distribuída, uniformemente, em uma esfera de raio R. As distâncias indicadas nos estágios 1, 2 e 3, em função do raio da Terra R, são, respectivamente, h_A = 0,02 R, h_B = 5 R e R_C = R.

Acerca dessa situação hipotética e considerando-se que a massa do foguete permanece constante ao longo de seu movimento, que a aceleração da gravidade g valha 10 m/s² e que o raio da Terra R seja igual a 6.500 km, julgue o item subsecutivo.

No estágio 2, a aceleração do foguete é nula, o que implica que !$ |\vec{F}|=|vec{P}| !$ e que, portanto, !$ |\vec{F}| !$ seja constante.

Um foguete é lançado da superfície da Terra em um processo de três estágios, conforme descritos a seguir e esquematicamente ilustrados na figura anterior.

• Estágio 1 – O foguete é acelerado uniformemente até o ponto A, de altura h_A, com uma aceleração !$ \vec{a} !$, cujo módulo é igual ao valor da aceleração da gravidade g na superfície da Terra.

• Estágio 2 – O foguete mantém-se em movimento retilíneo uniforme vertical ascendente até o ponto B, de altura h_B.

• Estágio 3 – O foguete faz uma curva circular de raio RC até o ponto C, de tal modo que sua direção de movimento sofra uma alteração de 90 graus. O módulo de sua velocidade permanece constante e igual ao módulo da velocidade do foguete no estágio 2.

velocidade do foguete nos estágios 2 e 3 é representada por !$ \vec{v} !$. Nos três estágios, atuam sempre sobre o foguete a sua força de impulsão !$ \vec{F} !$ e a força !$ \vec{P} !$, devido à atração gravitacional da Terra. No estágio 1, além dessas forças, atua, também, uma força de resistência do ar !$ \vec{R} !$, que sempre aponta na direção contrária à direção do movimento. Depois do estágio 3, o foguete fica livre e sob a ação apenas da força gravitacional da Terra. Nessa fase, a posição do foguete pode ser descrita a partir de sua distância !$ r !$ até o centro da Terra e o ângulo polar !$ \theta !$ entre a direção da linha radial que liga o centro da Terra até o foguete, e a direção do foguete ao final do estágio 3. As massas da Terra e do foguete são, respectivamente, representadas por m_T e m_f. A massa da Terra está distribuída, uniformemente, em uma esfera de raio R. As distâncias indicadas nos estágios 1, 2 e 3, em função do raio da Terra R, são, respectivamente, h_A = 0,02 R, h_B = 5 R e R_C = R.

Acerca dessa situação hipotética e considerando-se que a massa do foguete permanece constante ao longo de seu movimento, que a aceleração da gravidade g valha 10 m/s² e que o raio da Terra R seja igual a 6.500 km, julgue o item subsecutivo.

Até o foguete atingir o ponto A, a força resultante !$ \vec{F}_{res} !$ sobre ele será tal que !$ |\vec{F}_{res}|=|\vec{F}|-|\vec{P}|-|\vec{R}| !$.

Julgue o item subsequente, com relação a veículos lançadores orbitais e sub orbitais.

Ruídos de decolagem de veículos lançadores de satélites podem atingir níveis superior a 150 dB; o ruído aerodinâmico dos ignitores e das câmeras de combustão geram ondas de choque que podem resultar no colapso do veículo lançador.