Considere um modelo de regressão linear múltipla na forma

!$ y \, = \, X\beta \, + \, \varepsilon, !$

em que !$ y !$ representa o vetor de respostas, !$ X !$ denota a matriz de dados,

!$ \beta \, = \, \begin {bmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \end {bmatrix} !$

é o vetor de coeficientes e !$ \varepsilon !$ é o vetor de erros aleatórios independentes e identicamente distribuídos. Admita, ainda, que cada elemento do vetor !$ \varepsilon !$ possui média zero e variância 4. Além disso, considere que !$ X' !$ represente a matriz transposta de !$ X !$ e que a matriz inversa de !$ X' \, X !$ seja

!$ (X' \, X)^{-1} \, = \, \begin {bmatrix} 0,2 \,\,\,\,\,\, -0,1 \,\,\,\,\,\, 0 \\ -0,1 \,\,\,\,\,\, 0,1 \,\,\,\,\,\, 0 \\ 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0,1 \end {bmatrix}, !$

que !$ X' \, y \, = \, \begin {bmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {bmatrix} !$ e que

!$ \hat{\beta} \, = \, \begin {bmatrix} \hat{\beta}_0 \\ \hat{\beta}_1 \\ \hat{\beta}_2 \end {bmatrix} !$

denota o estimador de mínimos quadrados ordinários de !$ \beta. !$

Acerca do modelo apresentado, julgue o próximo item.

Se o vetor !$ \varepsilon !$ for constituído por n elementos independentes que seguem uma distribuição normal com média zero e variância 4, então !$ \dfrac {1} {4} \varepsilon' \varepsilon !$ se distribui conforme uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.

Considere um modelo de regressão linear múltipla na forma

!$ y \, = \, X\beta \, + \, \varepsilon, !$

em que !$ y !$ representa o vetor de respostas, !$ X !$ denota a matriz de dados,

!$ \beta \, = \, \begin {bmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \end {bmatrix} !$

é o vetor de coeficientes e !$ \varepsilon !$ é o vetor de erros aleatórios independentes e identicamente distribuídos. Admita, ainda, que cada elemento do vetor !$ \varepsilon !$ possui média zero e variância 4. Além disso, considere que !$ X' !$ represente a matriz transposta de !$ X !$ e que a matriz inversa de !$ X' \, X !$ seja

!$ (X' \, X)^{-1} \, = \, \begin {bmatrix} 0,2 \,\,\,\,\,\, -0,1 \,\,\,\,\,\, 0 \\ -0,1 \,\,\,\,\,\, 0,1 \,\,\,\,\,\, 0 \\ 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0,1 \end {bmatrix}, !$

que !$ X' \, y \, = \, \begin {bmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {bmatrix} !$ e que

!$ \hat{\beta} \, = \, \begin {bmatrix} \hat{\beta}_0 \\ \hat{\beta}_1 \\ \hat{\beta}_2 \end {bmatrix} !$

denota o estimador de mínimos quadrados ordinários de !$ \beta. !$

Acerca do modelo apresentado, julgue o próximo item.

A covariância entre !$ \hat{\beta_0} !$ e !$ \hat{\beta_2} !$ é igual a zero.

Considere um modelo de regressão linear múltipla na forma

!$ y \, = \, X\beta \, + \, \varepsilon, !$

em que !$ y !$ representa o vetor de respostas, !$ X !$ denota a matriz de dados,

!$ \beta \, = \, \begin {bmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \end {bmatrix} !$

é o vetor de coeficientes e !$ \varepsilon !$ é o vetor de erros aleatórios independentes e identicamente distribuídos. Admita, ainda, que cada elemento do vetor !$ \varepsilon !$ possui média zero e variância 4. Além disso, considere que !$ X' !$ represente a matriz transposta de !$ X !$ e que a matriz inversa de !$ X' \, X !$ seja

!$ (X' \, X)^{-1} \, = \, \begin {bmatrix} 0,2 \,\,\,\,\,\, -0,1 \,\,\,\,\,\, 0 \\ -0,1 \,\,\,\,\,\, 0,1 \,\,\,\,\,\, 0 \\ 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0,1 \end {bmatrix}, !$

que !$ X' \, y \, = \, \begin {bmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {bmatrix} !$ e que

!$ \hat{\beta} \, = \, \begin {bmatrix} \hat{\beta}_0 \\ \hat{\beta}_1 \\ \hat{\beta}_2 \end {bmatrix} !$

denota o estimador de mínimos quadrados ordinários de !$ \beta. !$

Acerca do modelo apresentado, julgue o próximo item.

Var!$ [\hat\beta_0] \, = \, 0,2. !$

Considere um modelo de regressão linear múltipla na forma

!$ y \, = \, X\beta \, + \, \varepsilon, !$

em que !$ y !$ representa o vetor de respostas, !$ X !$ denota a matriz de dados,

!$ \beta \, = \, \begin {bmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \end {bmatrix} !$

é o vetor de coeficientes e !$ \varepsilon !$ é o vetor de erros aleatórios independentes e identicamente distribuídos. Admita, ainda, que cada elemento do vetor !$ \varepsilon !$ possui média zero e variância 4. Além disso, considere que !$ X' !$ represente a matriz transposta de !$ X !$ e que a matriz inversa de !$ X' \, X !$ seja

!$ (X' \, X)^{-1} \, = \, \begin {bmatrix} 0,2 \,\,\,\,\,\, -0,1 \,\,\,\,\,\, 0 \\ -0,1 \,\,\,\,\,\, 0,1 \,\,\,\,\,\, 0 \\ 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0,1 \end {bmatrix}, !$

que !$ X' \, y \, = \, \begin {bmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {bmatrix} !$ e que

!$ \hat{\beta} \, = \, \begin {bmatrix} \hat{\beta}_0 \\ \hat{\beta}_1 \\ \hat{\beta}_2 \end {bmatrix} !$

denota o estimador de mínimos quadrados ordinários de !$ \beta. !$

Acerca do modelo apresentado, julgue o próximo item.

A estimativa de mínimos quadrados ordinários para o coeficiente !$ \beta_1 !$ é igual a 0.

Uma curva de regressão da variável aleatória Y sobre !$ X \, = \, x !$ é dada por !$ E[Y \mid X \, = \, x] \, = \, 1 \, - \, x, !$ em que o par de variáveis aleatórias (X, Y) segue uma distribuição normal bivariada, a média de X é igual a zero, Var[Y] = 4 e Var [X] = 1.

Considerando a situação hipotética apresentada, julgue o item a seguir.

A correlação linear entre X e Y é igual a −1.

Uma curva de regressão da variável aleatória Y sobre !$ X \, = \, x !$ é dada por !$ E[Y \mid X \, = \, x] \, = \, 1 \, - \, x, !$ em que o par de variáveis aleatórias (X, Y) segue uma distribuição normal bivariada, a média de X é igual a zero, Var[Y] = 4 e Var [X] = 1.

Considerando a situação hipotética apresentada, julgue o item a seguir.

A média de Y é igual a 1.

Uma curva de regressão da variável aleatória Y sobre !$ X \, = \, x !$ é dada por !$ E[Y \mid X \, = \, x] \, = \, 1 \, - \, x, !$ em que o par de variáveis aleatórias (X, Y) segue uma distribuição normal bivariada, a média de X é igual a zero, Var[Y] = 4 e Var [X] = 1.

Considerando a situação hipotética apresentada, julgue o item a seguir.

Var[X + Y] < 5.

Considere-se um modelo de séries temporais na forma !$ X_t \, = \, 2 \, + \, 0,2X_{t-1} \, + \, a_t, !$ em que t denota um índice temporal, a_t representa um ruído branco com média zero e variância 4, e as variáveis !$ X_t !$ e !$ X_{t-1} !$ são tais que !$ E[X_t] \, = \, E[X_{t-1}] !$ e !$ Var[X_t] \, = \, Var[X_{t-1}]. !$

Com base nessas informações, julgue o próximo item.

Se !$ X_10 \, = \, 5, !$ o valor projetado para a observação !$ X_{12}, !$ segundo o modelo em tela, será menor que 2.

Considere-se um modelo de séries temporais na forma !$ X_t \, = \, 2 \, + \, 0,2X_{t-1} \, + \, a_t, !$ em que t denota um índice temporal, a_t representa um ruído branco com média zero e variância 4, e as variáveis !$ X_t !$ e !$ X_{t-1} !$ são tais que !$ E[X_t] \, = \, E[X_{t-1}] !$ e !$ Var[X_t] \, = \, Var[X_{t-1}]. !$

Com base nessas informações, julgue o próximo item.

A série temporal em tela apresenta uma tendência linear cujo intercepto é igual a 2.

Considere-se um modelo de séries temporais na forma !$ X_t \, = \, 2 \, + \, 0,2X_{t-1} \, + \, a_t, !$ em que t denota um índice temporal, a_t representa um ruído branco com média zero e variância 4, e as variáveis !$ X_t !$ e !$ X_{t-1} !$ são tais que !$ E[X_t] \, = \, E[X_{t-1}] !$ e !$ Var[X_t] \, = \, Var[X_{t-1}]. !$

Com base nessas informações, julgue o próximo item.

A correlação linear entre !$ X_{t-1} !$ e !$ X_{t+1} !$ é igual a 0,04.