Dada uma lista de parâmetros !$ (\alpha , \beta) ∈ \mathbb{R}^2 !$, são definidas duas funções !$ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} !$ e !$ g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} !$ por !$ f(x_1, x_2)=x_1+ \alpha x_2 !$ e !$ g(x_1+x_2)=(x_1-1)^2+\beta(x^2_2-1) !$. Considere o problema de otimização que consiste em maximizar !$ f(x_1,x_2) !$ sujeito a !$ g(x_1,x_2)=0 !$. Defina o lagrangeano !$ \mathcal L (x_1, x_2, λ)=f(x_1,x_2)-λ g(x_1,x_2) !$. O gradiente de !$ \mathcal L !$ é notado por !$ ∇ \mathcal L (x_1, x_2, λ) !$. Julgue o seguinte item:

Item 0 - Quando !$ \alpha = 1 !$ e !$ \beta=0 !$ o problema não tem solução.

Suponha que um pesquisador deseje estimar as duas equações abaixo:

(1) !$ ln(Y)=\beta_0+\beta_1 ln(X)+u !$,

(2) !$ ln \left({\large{Y \over X}} \right)=\alpha_0+\alpha_1 ln(X)+ν !$,

em que !$ u !$ e !$ ν !$ são os termos de erro em cada equação, e !$ X > 0 !$ e !$ Y > 0 !$.

Defina !$ y+ln(Y) !$, !$ x=ln(X) !$ e !$ z=ln\left({\large{Y \over X}} \right) !$. Usando uma mesma amostra aleatória da população de tamanho !$ n !$, o pesquisador estima essas duas equações pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), obtendo os seguintes resultados:

(3) !$ \hat{y}=b_0+b_1x !$,

(4) !$ \hat{z}=\alpha_0+\alpha_1x !$.

Com base nessas informações, julgue a afirmativa abaixo:

Item 1 - !$ b_0=\alpha_0 !$.

Considere a função !$ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} !$ definida por !$ f(x,y)=x^2+(1+x)^3y^2 !$ para todo !$ (x,y) ∈ \mathbb{R}^2 !$.

Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 4 - A função !$ f !$ assume um valor mínimo em seu domínio.

Considere a função !$ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} !$ definida por !$ f(x,y)=x^2+(1+x)^3y^2 !$ para todo !$ (x,y) ∈ \mathbb{R}^2 !$.

Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 3 - Existe um ponto de máximo local para !$ f !$.

Considere a função !$ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} !$ definida por !$ f(x,y)=x^2+(1+x)^3y^2 !$ para todo !$ (x,y) ∈ \mathbb{R}^2 !$.

Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 2 - Existe um ponto de mínimo local para !$ f !$.

Considere a função !$ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} !$ definida por !$ f(x,y)=x^2+(1+x)^3y^2 !$ para todo !$ (x,y) ∈ \mathbb{R}^2 !$.

Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 1 - A função !$ f !$ tem mais do que um ponto crítico.

Considere a função !$ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} !$ definida por !$ f(x,y)=x^2+(1+x)^3y^2 !$ para todo !$ (x,y) ∈ \mathbb{R}^2 !$.

Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 0 - A função !$ {\large{∂ f \over ∂ y}}: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} !$ é homogênea de grau 4.

Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 4 - Um bem no valor de R$ 500.000,00 é vendido nas seguintes condições: (i) entrada de R$ 150.000,00; (ii) três parcelas mensais, iguais e sucessivas de R$ 100.000,00 nos meses seguintes; (iii) uma última parcela ao final do sexto mês também no valor de R$ 100.000,00. Logo, a taxa de juros embutida no financiamento do bem, denotada por i (i.e., a taxa interna de retorno do fluxo de caixa), é solução da equação:

!$ 3,5=\sum\limits^{3}_{t=1} {\large{1 \over (1+i)^t}}+{\large{1 \over (1+i)^6}} !$.

Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 3 - Se uma aplicação de R$ 120.000,00, realizada em certa data à taxa de juros composta de 2,4% ao mês, produz um montante de R$ 145.071,24 em uma data futura, então o prazo !$ n \ge 1 !$ (em meses) pode ser determinado como solução da equação:

!$ (1,024)^n=1,208927 !$.

Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 2 - Considerando o regime de juros compostos, a taxa de 5% ao semestre é equivalente à taxa de 10,25% ao ano.