Julgue como certo ou errado o seguinte item:

Item 2 - A sequência de números reais !$ (x_n) !$ cujo termo geral satisfaz !$ x_n={\large{(-1)^n \over n}} !$, para todo !$ n \ge 1 !$, não converge.

Julgue como certo ou errado o seguinte item:

Item 1 - !$ \underset{m\rightarrow \infty }{\lim } !$ !$ \underset{n\rightarrow \infty }{\lim } !$ !$ \left(1- {\large{1 \over n}} \right)^m = \underset{n \rightarrow \infty }{\lim } \underset{m\rightarrow \infty }{\lim } \left(1-{\large{1 \over n}} \right)^m !$.

Julgue como certo ou errado o seguinte item:

Item 0 - Sejam !$ (x_n) !$, !$ (y_n) !$ e !$ (z_n) !$ sequências de números reais. Se a sequência !$ (z_n) !$ é convergente e !$ z_n={\large{x_n+y_n \over 2}} !$ para todo !$ n \ge 1 !$, então !$ (x_n) !$ e !$ (y_n) !$ são convergentes.

Seja !$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ uma função duas vezes continuamente diferenciável. Julgue o item abaixo de acordo com a sua veracidade:

Item 4 - Se !$ 0 \le f(x) \le 1 !$, então !$ 0 \le f''(x)\le 1 !$.

Seja !$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ uma função duas vezes continuamente diferenciável. Julgue o item abaixo de acordo com a sua veracidade:

Item 3 - Se !$ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ é definida por !$ g(x)=f(e^x) !$, então !$ g'(x)=f'(x)e^x !$.

Seja !$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ uma função duas vezes continuamente diferenciável. Julgue o item abaixo de acordo com a sua veracidade:

Item 2 -Se para todo natural !$ n \ge 1 !$ vale que !$ f(c) \ge f(x)-{\large{1 \over n}} !$ para todo !$ x !$, então !$ f'(c)=0 !$.

Seja !$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ uma função duas vezes continuamente diferenciável. Julgue o item abaixo de acordo com a sua veracidade:

Item 1 - Se !$ f'(x*)=-1 !$ e !$ f''(x*) < 0 !$, então !$ x* !$ é ponto de máximo local da função !$ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ definida por !$ g(x)=f(x)+x !$.

Seja !$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ uma função duas vezes continuamente diferenciável. Julgue o item abaixo de acordo com a sua veracidade:

Item 0 - Se todo elemento do intervalo !$ [0,1] !$ é ponto de máximo local da função !$ f !$, então !$ \int_{0}^{1} f''(x)dx < 0 !$.

Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 4 - Uma função !$ y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ que possui derivadas de todas as ordens, denote por !$ y^{(n)}(x) !$ a sua derivada de ordem !$ n \ge 3 !$. Fixado !$ n \ge 3 !$, o conjunto de todas as soluções !$ y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ para a equação diferencial !$ y^{(n)}=0 !$ é dado pelo conjunto de todos os polinômios !$ p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ de grau menor ou igual a !$ n !$.

Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 3 - Uma função !$ y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ é solução da equação diferencial !$ y''=ay'+\beta !$ em que !$ \alpha, \beta ∈ \mathbb{R} !$ com !$ a ≠ 0 !$ se, e somente se, existe uma constante !$ c ∈ \mathbb{R} !$ tal que !$ y(x)=-{\large{\beta \over \alpha}} x+c !$.