Sejam !$ X_1 !$, !$ X_2 !$, ..., !$ X_n !$ variáveis aleatórias tais que !$ X_i \sim N(\mu, σ^2) !$ para todo !$ i=1 !$, ..., !$ n !$. Considere também que !$ corr(X_i,X_{i+1})= ρ !$ para !$ i=1 !$, ..., !$ n-1 !$;e que !$ \mu !$, !$ σ^2 !$ e !$ ρ !$ são parâmetros desconhecidos, e os dois últimos satisfazem as condições: !$ -1 < ρ < 1 !$, e !$ σ^2 < 0 !$. É correto afirmar:

Item 3 - Para !$ n=2 !$, seja !$ \hat{\mu}= {\large{X_1+X_2 \over 2}} !$ um estimador para !$ \mu !$. Então, !$ V\, ar( \hat{\mu})={\large{σ^2(1+ ρ) \over 2}} !$.

Sejam !$ X_1 !$, !$ X_2 !$, ..., !$ X_n !$ variáveis aleatórias tais que !$ X_i \sim N(\mu, σ^2) !$ para todo !$ i=1 !$, ..., !$ n !$. Considere também que !$ corr(X_i,X_{i+1})= ρ !$ para !$ i=1 !$, ..., !$ n-1 !$;e que !$ \mu !$, !$ σ^2 !$ e !$ ρ !$ são parâmetros desconhecidos, e os dois últimos satisfazem as condições: !$ -1 < ρ < 1 !$, e !$ σ^2 < 0 !$. É correto afirmar:

Item 2 - !$ E( \textstyle \sum_{i=1}^{n-1} X_i X_{i+1})=(n-1)( ρ σ^2+ \mu^2) !$.

Sejam !$ X_1 !$, !$ X_2 !$, ..., !$ X_n !$ variáveis aleatórias tais que !$ X_i \sim N(\mu, σ^2) !$ para todo !$ i=1 !$, ..., !$ n !$. Considere também que !$ corr(X_i,X_{i+1})= ρ !$ para !$ i=1 !$, ..., !$ n-1 !$;e que !$ \mu !$, !$ σ^2 !$ e !$ ρ !$ são parâmetros desconhecidos, e os dois últimos satisfazem as condições: !$ -1 < ρ < 1 !$, e !$ σ^2 < 0 !$. É correto afirmar:

Item 1 - !$ E( \textstyle \sum_{i=1}^n X^2_i)=nσ^2 !$.

Sejam !$ X_1 !$, !$ X_2 !$, ..., !$ X_n !$ variáveis aleatórias tais que !$ X_i \sim N(\mu, σ^2) !$ para todo !$ i=1 !$, ..., !$ n !$. Considere também que !$ corr(X_i,X_{i+1})= ρ !$ para !$ i=1 !$, ..., !$ n-1 !$;e que !$ \mu !$, !$ σ^2 !$ e !$ ρ !$ são parâmetros desconhecidos, e os dois últimos satisfazem as condições: !$ -1 < ρ < 1 !$, e !$ σ^2 < 0 !$. É correto afirmar:

Item 0 - !$ E(\textstyle \sum_{i=1}^n X_i)=n \mu !$.

Julgue a afirmativa abaixo:

Item 3 - Seja !$ Z !$ uma variável aleatória com média !$ \mu !$ e variância !$ σ^2 !$, e !$ d !$ é uma constante positiva. Pela Desigualdade de Tchebychev, temos: !$ Prob( \left\vert Z - \mu \right\vert \ge d) \le {\large{σ^2 \over d^2}} !$.

Julgue a afirmativa abaixo:

Item 2 - Sejam !$ X_1 !$, !$ X_2 !$, ..., !$ X_n !$ variáveis aleatórias independentes com média !$ \mu !$ e variância !$ σ^2 !$. Sendo !$ \overline{X}=\textstyle \sum_{i=1}^n {\large{X_i \over n}} !$, pelo Teorema Central do Limite, !$ \overline{X} !$ converge para uma distribuição normal quando !$ n \rightarrow ∞ !$.

Julgue a afirmativa abaixo:

Item 2 - Sejam !$ X_1 !$, !$ X_2 !$, ..., !$ X_n !$ variáveis aleatórias com Distribuição de Bernoulli com parâmetro p. Pela Lei dos Grandes Números, !$ \overline{X}=\textstyle \sum_{i=1}^n {\large{X_i \over n}} !$ converge para p quando !$ n \rightarrow ∞ !$.

Julgue a afirmativa abaixo:

Item 1 - Sejam !$ X_1 !$, !$ X_2 !$, ..., !$ X_n !$ variáveis aleatórias independentes com Distribuição de Bernoulli com parâmetro p. Sendo !$ \overline{X}=\textstyle \sum_{i=1}^n (X_i/n) !$, pelo Teorema Central do Limite, !$ \overline{X} !$ converge para uma distribuição normal quando !$ n \rightarrow ∞ !$.

Julgue a afirmativa abaixo:

Item 0 - Seja !$ Y !$ uma variável aleatória, enquanto c é uma constante qualquer, e d é uma constante positiva. Pela Desigualdade de Tchebychev, podemos afirmar:

!$ Prob(\mid Y-c \mid \ge d) \le {\large{E (Y^2) \over d^2}} !$.

Suponha que a variável aleatória !$ X !$ tem Distribuição de Poisson com média !$ τ !$ (em que !$ τ > 0 !$), e que a variável aleatória !$ Y !$ tem Distribuição de Poisson com média !$ \mu !$ (em que !$ \mu > 0 !$). Considere que !$ X !$ e !$ Y !$ são variáveis aleatórias independentes. Supondo também que !$ k !$ e !$ n !$ são inteiros tais que !$ \le k \le n !$, é certo ou errado a afirmativa abaixo:

Item 4 - A distribuição condicional de !$ Y !$, dado que !$ X+Y=n !$, é uma binomial com parâmetros !$ n !$ e !$ (\tau + \mu) !$.