Considere o Modelo de Regressão Linear abaixo:

(1) !$ Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+u !$,

em que não há colinearidade perfeita e uma amostra aleatória da população com !$ n !$ observações !$ \{(X_{1i},X_{2i},Y_i) : i=1,2, \cdots, n\} !$ está disponível. Além disso, as seguintes condições são válidas: !$ cov (X_1, u)=0 !$, !$ cov(X_1,X_2) ≠ 0 !$, e !$ cov (X_2, u)=0 !$.

Suponha, porém, que sejam estimados os seguintes modelos por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO):

(2) !$ Y=a_0+a_1X_1+ \tilde{u} !$,

(3) !$ X_2=δ_0+δ_1X_1+v !$,

em que !$ cov(X_1, v)=0 !$.

Definindo !$ \widehat{a}_0 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_0 !$, e !$ \widehat{a}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_1 !$ na equação (2), e também como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_0 !$, e !$ \widehat{δ}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_1 !$ na equação (3), é certo ou errado a afirmativa:

Item 3 - Quando !$ n !$ tende ao infinito, a variância de !$ \hat{δ}_1 !$ condicionada em !$ X_1 !$ tende para zero.

Considere o Modelo de Regressão Linear abaixo:

(1) !$ Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+u !$,

em que não há colinearidade perfeita e uma amostra aleatória da população com !$ n !$ observações !$ \{(X_{1i},X_{2i},Y_i) : i=1,2, \cdots, n\} !$ está disponível. Além disso, as seguintes condições são válidas: !$ cov (X_1, u)=0 !$, !$ cov(X_1,X_2) ≠ 0 !$, e !$ cov (X_2, u)=0 !$.

Suponha, porém, que sejam estimados os seguintes modelos por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO):

(2) !$ Y=a_0+a_1X_1+ \tilde{u} !$,

(3) !$ X_2=δ_0+δ_1X_1+v !$,

em que !$ cov(X_1, v)=0 !$.

Definindo !$ \widehat{a}_0 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_0 !$, e !$ \widehat{a}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_1 !$ na equação (2), e também como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_0 !$, e !$ \widehat{δ}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_1 !$ na equação (3), é certo ou errado a afirmativa:

Item 2 - Quando !$ n !$ tende ao infinito, !$ \hat{δ}_1 !$ tende para !$ δ_1+{\large{cov(X_1,v) \over Var(X_1)}}=δ_1 !$.

Considere o Modelo de Regressão Linear abaixo:

(1) !$ Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+u !$,

em que não há colinearidade perfeita e uma amostra aleatória da população com !$ n !$ observações !$ \{(X_{1i},X_{2i},Y_i) : i=1,2, \cdots, n\} !$ está disponível. Além disso, as seguintes condições são válidas: !$ cov (X_1, u)=0 !$, !$ cov(X_1,X_2) ≠ 0 !$, e !$ cov (X_2, u)=0 !$.

Suponha, porém, que sejam estimados os seguintes modelos por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO):

(2) !$ Y=a_0+a_1X_1+ \tilde{u} !$,

(3) !$ X_2=δ_0+δ_1X_1+v !$,

em que !$ cov(X_1, v)=0 !$.

Definindo !$ \widehat{a}_0 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_0 !$, e !$ \widehat{a}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_1 !$ na equação (2), e também como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_0 !$, e !$ \widehat{δ}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_1 !$ na equação (3), é certo ou errado a afirmativa:

Item 1 - Quando !$ n !$ tende ao infinito, !$ \hat{\alpha}_1 !$ tende para !$ \beta_1+\beta_2 {\large{Cov(X_1,u) \over V ar(X_1)}}=\beta_1 !$.

Considere o Modelo de Regressão Linear abaixo:

(1) !$ Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+u !$,

em que não há colinearidade perfeita e uma amostra aleatória da população com !$ n !$ observações !$ \{(X_{1i},X_{2i},Y_i) : i=1,2, \cdots, n\} !$ está disponível. Além disso, as seguintes condições são válidas: !$ cov (X_1, u)=0 !$, !$ cov(X_1,X_2) ≠ 0 !$, e !$ cov (X_2, u)=0 !$.

Suponha, porém, que sejam estimados os seguintes modelos por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO):

(2) !$ Y=a_0+a_1X_1+ \tilde{u} !$,

(3) !$ X_2=δ_0+δ_1X_1+v !$,

em que !$ cov(X_1, v)=0 !$.

Definindo !$ \widehat{a}_0 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_0 !$, e !$ \widehat{a}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_1 !$ na equação (2), e também como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_0 !$, e !$ \widehat{δ}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_1 !$ na equação (3), é certo ou errado a afirmativa:

Item 0 - Quando !$ n !$ tende ao infinito, !$ \hat{δ}_1 !$ se torna um estimador não tendencioso para !$ δ_1 !$.

Considere as suposições do Modelo Linear Clássico de Regressão. Julgue a afirmativa abaixo:

Item 4 - A suposição de homocedasticidade dos erros garante que os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários sejam não viesados e consistentes.

Considere as suposições do Modelo Linear Clássico de Regressão. Julgue a afirmativa abaixo:

Item 3 - A colinearidade entre os regressores implica sempre em aumento na variância dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários.

Considere as suposições do Modelo Linear Clássico de Regressão. Julgue a afirmativa abaixo:

Item 2 - A colinearidade entre os regressores implica que os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários serão viesados.

Considere as suposições do Modelo Linear Clássico de Regressão. Julgue a afirmativa abaixo:

Item 1 - As suposições de Gauss-Markov garantem que os estimadores de Mínimos Quadrados sejam os estimadores de menor variância dentre todos os possíveis estimadores não viesados.

Considere as suposições do Modelo Linear Clássico de Regressão. Julgue a afirmativa abaixo:

Item 0 - A suposição de exogeneidade dos regressores garante que os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários serão não viesados.

Sejam !$ X_1 !$, !$ X_2 !$, ..., !$ X_n !$ variáveis aleatórias tais que !$ X_i \sim N(\mu, σ^2) !$ para todo !$ i=1 !$, ..., !$ n !$. Considere também que !$ corr(X_i,X_{i+1})= ρ !$ para !$ i=1 !$, ..., !$ n-1 !$;e que !$ \mu !$, !$ σ^2 !$ e !$ ρ !$ são parâmetros desconhecidos, e os dois últimos satisfazem as condições: !$ -1 < ρ < 1 !$, e !$ σ^2 < 0 !$. É correto afirmar:

Item 4 - Seja !$ n=2 !$, e considere que !$ σ^2={\large{1 \over 2}}(X^2_1+X^2_2) - \left( {\large{1 \over 2}}(X_1+X_2) \right)^2 !$ é um estimador para !$ σ^2 !$. Esse estimador é não tendencioso.