Considere que uma variável aleatória bidimensional (X, Y) possua função de densidade conjunta f(x, y) = 2, se 0 \( \le \) x\( \le \) \( \le \) 1; e f(x, y) = 0 para outros valores de x e y. Com base nessas informações, julgue o próximo item.

A variável aleatória X tem valor esperado igual a 1/3 e variância igual a 1/18.

Considerando que uma cadeia de Markov seja representada pelo dígrafo ilustrado acima, julgue o item a seguir.

Para a cadeia de Markov representada pelo dígrafo mostrado acima, a matriz fundamental é expressa por

\( N = { \begin{pmatrix} 7/4\,\,1\,\,5/4\\5/4\,\,2\,\,7/4\\1\,\,\,1\,\,\,1\,\,\,2 \end{pmatrix}} \)

Considerando que uma cadeia de Markov seja representada pelo dígrafo ilustrado acima, julgue o item a seguir.

A cadeia de Markov representada pelo dígrafo acima é absorvente e a matriz de transição P, na forma canônica, tem a representação mostrada a seguir, em que cada elemento p_i,j representa a probabilidade de transição do estado i para o estado j.

\( P = { \begin{pmatrix} Q\,\,R\\0\,\,\,I \end{pmatrix}}= { \begin{pmatrix} 0\,\,1/3\,\,1/3\,\,0\,\,1/3\\1/3\,\,0\,\,2/3\,\,0\,\,0\\1/3\,\,1/3\,\,0\,\,1/6\,\,1/6\\0\,\,\,\,0\,\,\,\,0\,\,\,\,1\,\,\,\,0\\0\,\,\,\,0\,\,\,\,0\,\,\,\,0\,\,0\,\,\,\,0\,\,\,\,1 \end{pmatrix}} \)

Uma cadeia de Markov é denominada irredutível (ou ergódica) caso qualquer estado possa ser transformado em qualquer outro estado, não necessariamente em um único passo. Uma cadeia de Markov com matriz de transição P é regular caso exista um número inteiro positivo n tal que todos os elementos da matriz potência \(P^n\) sejam estritamente positivos.

Julgue os seguintes itens a respeito desses conceitos.

O dígrafo abaixo representa uma cadeia de Markov regular.