Os triângulos ABC e DEF são equiláteros com lados iguais a m. A área da figura FHCG é igual à metade da área da figura ABHFG. Determine a equação da elipse de centro na origem e eixos formados pelos segmentos FC e GH.

Uma pirâmide regular possui como base um dodecágono de aresta a. As faces laterais fazem um ângulo de 15º com o plano da base. Determine o volume desta pirâmide em função de a.

As raízes cúbicas da unidade, no conjunto dos números complexos, são representadas por 1, w e w², onde w é um número complexo. O intervalo que contém o valor de (1 – w )⁶ é:

Em um aeroporto existem 12 vagas numeradas de 1 a 12, conforme a figura. Um piloto estacionou sua aeronave em uma vaga que não se encontrava nas extremidades, isto é, distintas da vaga 1 e da vaga 12. Após estacionar, o piloto observou que exatamente 8 das 12 vagas estavam ocupadas, incluindo a vaga na qual sua aeronave estacionou. Determine a probabilidade de que ambas as vagas vizinhas a sua aeronave estejam vazias.

Seja arcsenx + arcseny + arcsenz = !$ \dfrac{3π}{2} !$, onde x, y e z são números reais pertencentes ao intervalo

[-1,1]. Determine o valor de x¹⁰⁰ + y¹⁰⁰ + z¹⁰⁰ - !$ \dfrac{9}{x^{101}\,+\,y^{101}\,+\,z^{101}} !$.

São dados os pontos P₀ e P₁ distantes 1 cm entre si. A partir destes dois pontos são obtidos os demais pontos P_n, para todo n inteiro maior do que um, de forma que:

^. o segmento P_n P_{(n- 1)} é 1 cm maior do que o segmento P_{(n- 1)} P_{(n - 2)}; e

^. o segmento P_n P_{(n- 1)} é perpendicular a P₀P_{(n - 1)}.

Determine o comprimento do segmento P₀ P₂₄

São dadas as matrizes quadradas inversíveis A , B e C , de ordem 3. Sabe-se que o determinante de C vale (4 - x), onde x é um número real, o determinante da matriz inversa de B vale -!$ \dfrac{1}{3} !$ e que (CA^t)^t= P^-1BP, onde P é uma matriz inversível . sabendo que A=!$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 3 & x & 0\\1 & 0 & 0 \end{pmatrix} !$, determine os possíveis valores de x.

A figura apresenta uma placa positiva metálica P₁, de massa desprezível, fixada no teto, que dista 10 cm de uma placa idêntica P₂. Ambas constituem um capacitor de 16 pF, carregado com 32 pC. A placa P₂ está colada em um bloco de madeira com massa m = 1 kg, mantido em repouso, encostado sobre uma mola não comprimida. Libera-se o movimento do bloco e, no instante que a compressão da mola é máxima, fecha-se a chave S. Sabe-se que nesse instante a potência dissipada em R₂ é 2/3 W e que a aceleração da gravidade g = 10 m/s². A constante da mola, em N/m, é

Seja F o conjunto cujos elementos são os valores de n!, onde n é um número natural. Se G é subconjunto de F que não contém elementos que são múltiplos de 27.209, determine o número de elementos do conjunto G.

As dimensões dos lados de um paralelepípedo reto retângulo, em, metros, valem a, b, c. sabe-se que a, b, c são raízes da equação 6x³ - 5x² + 2x - 3 = 0. Determine, em metros, o comprimento da diagonal deste paralelepípedo.