Entre os números 3 e 192 insere-se igual número de termos de uma progressão aritmética e de uma progressão geométrica com razão r e q, respectivamente, onde r e q são números inteiros. O número 3 e o número 192 participam destas duas progressões. Sabe-se que o terceiro termo de !$ \left (1 + { \large 1 \over q} \right)^8 !$, em potências crescentes de !$ { \large 1 \over q} !$, é !$ { \large r \over 9q} !$. O segundo termo da progressão aritmética é

Seja o número complexo !$ z = { \large a \over ib(1 + ib)^2} !$, onde a e b são números reais positivos e !$ i = \sqrt{-1} !$. Sabendo que o módulo e o argumento de z valem, respectivamente, 1 e !$ ( - \pi) !$ rd, o valor de a é

Seja !$ \triangle !$ o determinante da matriz !$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & x^2 & x^3 \\ x & x & 1 \end{bmatrix} !$ . O número de possíveis valores de x reais que anulam !$ \triangle !$ é

Seja um triângulo ABC. AH é a altura relativa de BC, com H localizado entre B e C. Seja BM a mediana relativa de AC. Sabendo que BH = AM = 4, a soma dos possíveis valores inteiros de BM é

O coeficiente de x⁴y⁴ no desenvolvimento de (1 + x + y)¹⁰ é

Considere o sistema de equações !$ { \begin{cases} ax + by = c\\px + qy = d \end{cases}} !$ , com a, b, c, d, p e q reais, !$ abcd \neq 0, a + b = m !$ e d = nc. Sabe-se que o sistema é indeterminado. O valor de p + q é

Considere as inequações abaixo:

I) !$ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca !$

II) !$ a^3 + b^3\ge a^2 b + ab^2 !$

III) !$ ( a^2 - b^2) \ge (a - b)^4 !$

Esta(ão) correta(s), para quaisquer valores reais positivos de a,b e c, a(s) inequação(ões)

Considere a equação !$ \log_{3x} \dfrac{3}{x} + (\log_3 x)^2 = 1 !$. A soma dos quadrados das soluções reais dessa equação está contida no intervalo

Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor da expressão !$ [ 4cos^2 (9^{ \circ}) - 3 ] [4 cos^2 (27^{ \circ}) - 3] !$:

Os polinômios !$ P(x) = x^3 +ax^2 + 18 !$ e !$ Q(x) = x^3 + bx + 12 !$ possuem duas raízes comuns. Sabendo que a e b são números reais, pode-se afirmar que satisfazem a equação