Acerca do oscilador harmônico unidimensional, o valor esperado da energia potencial !$ \left \langle V \right \rangle !$, no n-ésimo estado será

Texto para a questão.

No problema do oscilador harmônico unidimensional, uma partícula de massa m está sujeita a um potencial !$ V(x) = m \omega^2 x^2/2 !$, em que !$ \omega !$ é a frequência clássica do oscilador. Classicamente, a constante de mola é dada por !$ K = m \omega^2 !$.

Operadores tipo escada permitem obter os autovalores de energia sem que haja a necessidade de resolver diretamente a equação de Schrödinger. Nesse sentido, os operadores a (operador de aniquilação) e a^ (operador de criação) são essenciais na representação dos operadores posição, !$ x = \sqrt{ \hbar /2m \omega} (a^+ a) !$, e momento linear, !$ p = \sqrt{ \hbar m \omega/ 2} (a^+ - a) !$.

Considerando inicialmente o autoestado !$ | \Psi_n \rangle !$ do hamiltoniano H correspondente ao autovalor !$ E_n = ( n + 1/2 \hbar \omega !$, a aplicação do operador a produz um autovetor associado com autovalor !$ E_{n-1} = ( n + 1/2) \hbar \omega - \hbar \omega !$, e a aplicação de a⁺ produz energia !$ E_{n +1} = (n + { \large 1 \over 2} \hbar \omega + \hbar \omega !$. Além disso, sejam !$ | \Psi_n \rangle !$ e !$ | \Psi_{n \pm 1} \rangle !$ normalizadas, !$ a^+ | \Psi_n \rangle = \sqrt{n +1} | \Psi_{n+1} \rangle, a| \Psi_n \rangle = \sqrt{n} | \Psi_{n-1} \rangle !$, !$ a^+ a | \Psi_n \rangle = n | \Psi_n \rangle !$ e !$ a a^+| \Psi_n \rangle = ( n + 1) | \Psi_n \rangle !$.

Para um oscilador harmônico unidimensional, a e a^ estão relacionados entre si por meio das relações de comutação [a, a⁺] = 1 e [a⁺, a] = -1. Além disso, [a, a] = [a⁺, a⁺] = 0. Definindo um operador N como sendo N = a⁺a, assinale a opção correta sobre as relações de comutação [N, a] e [N, a⁺].

Para um sistema unidimensional de osciladores harmônicos, os níveis de energia são igualmente espaçados e não-degenerados. Então, o número de estados quânticos no intervalo ΔE é proporcional a ΔE , desde que ΔE seja muito maior que o espaçamento entre os níveis. Acerca desse assunto, assinale a opção correta.

Muitos sistemas complexos podem ser representados aproximadamente por osciladores harmônicos. A energia potencial V(r) de dois átomos em função da distância de separação r entre eles se comporta usualmente conforme a curva da figura abaixo.

Geralmente, existe uma distância, r = rm, na qual o potencial possui um valor mínimo, que corresponde ao ponto de equilíbrio estável. Em cristais moleculares formados por gases nobres, a interação entre os íons pode ser aproximada pelo potencial de Leonnard- Jonnes: !$ V(r) = 4V_0 { \begin{bmatrix} \left ( { \large \sigma \over r} \right) - \left ( { \large \sigma \over r} \right) \end{bmatrix}} !$ , em que V₀ e F dependem do tipo de íon. Próximo do mínimo, o potencial pode ser escrito na forma polinomial !$ V(r) \approx V_m + k(r - r_m)^2/2 !$ onde !$ V_m = V(r_m) !$ , assumindo a forma do potencial do oscilador harmônico. Considerando o potencial aproximado para oscilador harmônico, a energia do estado fundamental E₀ de um íon simples de massa m em tal cristal será

Considere que um elétron está se movendo livremente dentro de um poço de potencial de barreira infinita com paredes localizadas em x = 0 e em x = a. Considere, ainda, que esse elétron esteja inicialmente no estado fundamental (n = 1), com energia !$ E_1 = { \large r^2 \hbar^2 \over ( 2ma^2)} !$ e função de onda correspondente !$ \varphi_1(x) = \sqrt{ { \large 2 \over a}} sen \left( { \large \pi x \over a} \right) !$. Repentinamente, o tamanho do poço é quadruplicado, isto é, o lado direito da parede é movido instantaneamente de x = a para x = 4a. Acerca desse assunto, a probabilidade de se encontrar o elétron no estado fundamental na nova configuração é igual a

Considerando uma partícula de massa m confinada em um poço finito de potencial quadrático de comprimento a e profundidade V₀, a solução das autofunções e autovalores do estado ligado (isto é, E < V₀) envolve a resolução da equação transcendental:

!$ \sqrt{R^2 -a_n^2} = { \begin{cases} -a_n cot\,a_n,\,para\,estados\,ímpares\\a_n tan\,a_n, para\,estados\,pares \end{cases}} !$

em que !$ a_n^ 2 = { \large ma^2 E_n \over 2 \hbar^2} !$ e !$ a_n^ 2 = { \large ma^2 V_0 \over 2 \hbar^2} !$.

A figura acima mostra as soluções gráficas para a referida equação transcendental. As soluções são dadas pelas intersecções entre !$ \sqrt{R^2-a_n^2} !$ com a_n tan a_n e -a_n cot a_n. Além disso, o número de soluções depende do valor de R. Assinale a opção correta relativa ao número de estados ligados na situação em que R = 2.

Texto para a questão.

Um dos potenciais mais simples, que apresentam a propriedade de penetração de barreira, é o poço de potencial quadrado, que é frequentemente utilizado na física quântica para representar uma situação na qual uma partícula se move em uma região limitada do espaço sob influências de forças de confinamento.

A figura I acima mostra um poço de potencial quadrado e seus três autovalores dos estados ligados. Não é mostrado o contínuo de autovalores da energia E > V₀. Na figura II, são mostradas as três autofunções correspondentes do poço de potencial.

Considere as regiões em que as autofunções se estendem para fora do poço !$ x < - { \large a \over 2} !$ e !$ x >{ \large a \over 2} !$. De acordo com a mecânica clássica, desde que a energia cinética seja !$ { \large p^2 \over 2m} = E - V(x) !$, em que p é o momento linear de uma partícula de massa m, essa partícula jamais poderia ser encontrada nessa região, uma vez que E < V(x). Acerca das regiões classicamente proibidas, assinale a opção correta.

Texto para a questão.

Um dos potenciais mais simples, que apresentam a propriedade de penetração de barreira, é o poço de potencial quadrado, que é frequentemente utilizado na física quântica para representar uma situação na qual uma partícula se move em uma região limitada do espaço sob influências de forças de confinamento.

A figura I acima mostra um poço de potencial quadrado e seus três autovalores dos estados ligados. Não é mostrado o contínuo de autovalores da energia E > V₀. Na figura II, são mostradas as três autofunções correspondentes do poço de potencial.

Acerca da região x dentro do poço de potencial quadrado, !$ -{ \large a \over 2} \le x \le { \large a \over 2} !$, e do número de onda angular kI, presente na solução da equação de Schrödinger, independentemente do tempo, nessa região, assinale a opção correta.

Considere os operadores !$ O_1 \Psi (x) = x^3 \Psi(x) !$ e !$ O_2 \Psi (x) = x { \large d \over dx} \Psi(x) !$. Suponha, ainda, que. Então, a relação de comutação [O₁, O₂] será

Texto para a questão.

Considere na figura abaixo um degrau de potencial com amplitude V₀. Considere, ainda, que ocorra um fluxo de partículas de massa m e energia E > V₀ da esquerda para a direita, iniciando-se em !$ x = - \infty !$.

!$ v(x) = { \begin{cases} V_0,\,\,\, x> 0 \\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0 \end{cases}} !$

De modo geral, a descrição do estado estacionário mostrado no texto se dá em três partes: onda incidente, onda refletida e onda transmitida. A razão entre a intensidade da onda refletida e da onda incidente dá a probabilidade de que a partícula seja refletida pelo degrau de potencial de volta à região I. Esta probabilidade é conhecida como coeficiente de reflexão R. Considere a função de onda formada por ondas se propagando com comprimento de onda de de Broglie !$ \lambda_I = { \large h \over p_I} = { \large 2 \pi \over K_I} !$, na região I, e com comprimento de onda de de Broglie!$ \lambda_{II} = { \large h \over p_{II}} = { \large 2 \pi \over K_{II}} !$ na região II. Então, R é igual a: