Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centímetros. A partir dele, constrói-se uma seqüência de triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos lados de um triângulo são os vértices do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor em centímetros quadrados que está mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros triângulos assim construídos, incluindo o triângulo inicial, é:

O número complexo

!$ z= { \large{1 - \cos \, a \over \sin \, a \, \cos \, a}} +i { \large{1 -2 \cos \, a + 2\, \sin\, a \over \sin \, 2a }} !$, !$ a ∈ \left ] 0, \large { \pi \over 2} \right [ !$ tem argumento !$ \large { \pi \over 4} !$. Neste caso, a é igual a:

Considere as funções

!$ f(x) = { \large {5+7^x \over4}} , g(x) = { \large{5-7^x \over 4}} !$ e !$ h(x)= \arctan x !$

Se a é tal que !$ h(f(a)) + h(g(a))= \large {\pi \over 4} !$, então !$ f(a) – g(a) !$ vale:

Se !$ z=1+i \sqrt3 !$, !$ z.\overline{w}=1 !$ e !$ \alpha ∈ [0,2 \pi] !$ é um argumento de z.w, então !$ \alpha !$ é igual a:

Se !$ f:]0,1[ \rightarrow IR !$ é tal que, !$ ∀ × ∈ ]0,1[ !$, !$ \left\vert f(x) \right\vert < \large{1 \over 2} !$ e !$ f(x) = \large{1 \over 4}\left ( f \left ( \large {x \over 2} \right ) + f \left ( { \large {x+1 \over 2}} \right ) \right ) !$

então a desigualdade válida para qualquer n = 1, 2, 3,... e 0 < x < 1 é:

O polinômio com coeficientes reais !$ P(x) = x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2+ a_1x + a_0 !$ tem duas raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2, e duas de suas raízes são 2 e i. Então, a soma dos coeficientes é igual a:

Seja !$ m ∈ IR !$, !$ m > 0 !$. Considere o sistema

!$ \begin{cases} 2x-(\log_4m)+5z=0 \\ (\log_2m)x+y-2z=0 \\ x+y-(\log_2m^2)z=0 \end{cases} !$

O produto dos valores de m para os quais o sistema admite solução não-trivial é:

De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a:

O conjunto de todos os valores de m para os quais a função !$ f(x)= { \large {x^2+(2m+3)x+(m^2+3) \over \sqrt{x^2+(2m+1) x+(m^2+2)}}} !$ está definida e é não-negativa para todo x real é:

Considere a matriz

!$ A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{bmatrix} !$

A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A é: