Pretende-se estimar por amostragem a proporção !$ p !$ de famílias com renda inferior a cinco salários mínimos em uma populosa cidade. Usando a estimativa !$ \hat {p} !$ = 5/7, obtida em um levantamento preliminar, determine o menor tamanho de amostra aleatória simples necessária para estimar !$ p !$ com um intervalo de 95% de confiança e com um erro de amostragem

Dados da Questão 27 da prova original:

Determine a reta de regressão de !$ Y !$ em !$ X !$, considerando que uma amostra aleatória simples !$ (X_1,Y_1), \, (X_2,Y_2),..., (X_{22},Y_{22}) !$ forneceu as seguintes estatísticas: médias amostrais !$ \overline {X} !$ !$ = 4,8 !$ e !$ \overline {Y} !$ !$ = 15,3 !$, variâncias amostrais !$ S_X^2 = 8 !$ e !$ S_Y^2 = 40 !$ e covariância amostral !$ S_{XY}=12 !$

Considere os desvios em relação às correspondentes médias amostrais das observações apresentadas na Questão 27: !$ y_i = Y_i - \overline {Y} !$ e !$ x_i=X_i- \overline X !$ e calcule qual o valor mais próximo da proporção da variância da primeira componente principal em relação à variância total !$ S_x^2+S_y^2 = 48 !$.

Seja !$ Y !$uma variável aleatória !$ N ( \alpha + \beta X, \quad \sigma^2) !$ e considere os !$ n !$ pares de valores !$ (X_1, \, Y_1), \, (X_2, \, Y_2), ..., (X_n, \, Y_n) !$ onde, para cada valor !$ X_i !$ predeterminado, um valor !$ Y_i !$ é observado e sejam !$ \tilde {a} !$ e !$ \tilde {\beta} !$ os estimadores de máxima verossimilhança de !$ a !$ e !$ \beta !$ respectivamente. Determine o estimador de máxima verossimilhança da variância residual !$ \sigma^2. !$