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Seja A1 uma amostra extraída aleatoriamente, com reposição, de uma população P1. Uma outra amostra aleatória A2 é extraída, com reposição, de uma outra população P2. Deseja-se utilizar o Teste de Mann- Whitney para verificar se as duas amostras foram retiradas de populações com médias iguais. É correto afirmar que, para aplicar esse teste,
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Considere um estudo realizado em que foi decidido aplicar a técnica de análise de componentes principais, e a matriz de covariâncias do vetor de variáveis aleatórias !$ X = { \begin{bmatrix} X_1\\X_2 \end{bmatrix}} !$ é dada por !$ \sum = { \begin{bmatrix}\,5\,\,-2\\-2\,\,\,2 \end{bmatrix}} !$ . Se Y1 é a primeira componente principal de !$ \sum !$, então, a variância de Y1 é igual a
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Para a realização de uma pesquisa com uma população de tamanho 5.000, decidiu-se dividir essa população em 2 estratos, conforme o quadro a seguir.
| Estrato (i) | Tamanho (Ni) | Desvio padrão (σi) |
| 1 | 2.000 | 3 |
| 2 | 3.000 | 4 |
| Total (N) | 5.000 |
Uma amostra aleatória de tamanho 100, com reposição, foi extraída da população com partilha proporcional entre os estratos. Seja o estimador !$ \bar{X}= { \Large { N_1 \bar{X}_1 \over N}} + { \Large { N_2 \bar{X}_2 \over N}} !$, sendo !$ \bar{X}_1 !$ e !$ \bar{X}_2 !$ as médias amostrais dos estratos 1 e 2, respectivamente. A variância de !$ \bar{X} !$ é, então, igual a
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Um experimento consiste em analisar 4 componentes, detectando o número de sucessos e o número de fracassos apresentados no experimento. A tabela a seguir refere-se ao resultado obtido com uma série de 80 experimentos realizados aleatoriamente.
| Número de sucessos e fracassos | 0 sucessos 4 fracassos | 1 sucesso 3 fracassos | 2 sucessos 2 fracassos | 3 sucessos 1 fracasso | 4 sucessos 0 fracassos | TOTAL |
| Número de experimentos | 2 | 14 | 39 | 16 | 9 | 80 |
Deseja-se testar, ao nível de significância de 5%, se o número de sucessos e o número de fracassos no experimento são igualmente prováveis por meio do teste qui-quadrado (χ2), com base na tabela fornecida. Utilizou-se a distribuição binomial !$ P(x= K) = C_4^K { \begin{pmatrix} { \large 1 \over 2} \end{pmatrix}}^K { \begin{pmatrix} { \large 1 \over 2} \end{pmatrix}}^{(4- K)} !$ para apurar o número de experimentos esperados em cada situação (k é o número de sucessos em cada experimento com 0 ≤ k ≤ 4). Então, o qui-quadrado observado !$ \left ( X_C^2 \right ) !$ é igual a um valor
Dados: Quantis da distribuição qui-quadrado (χ2) tal que a probabilidade !$ P \left( X^2 > X_a^2 \right)= \alpha !$ , com n graus de liberdade.
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Com relação a um teste de hipóteses em que foram formuladas as hipóteses H0 (hipótese nula) e H1 (hipótese alternativa), apurou-se que a potência desse teste foi igual a 40%. Isso significa que a probabilidade de
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Com base em uma amostra aleatória de tamanho 100 , que foi extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída de média μ e variância σ2 conhecida foi obtido um intervalo de confiança de 90% para μ igual a [ 393,44 ; 406,56 ]. Uma outra amostra aleatória de tamanho 400, independente da primeira, foi extraída também, com reposição, da mesma população, fornecendo um outro intervalo de confiança de 95% para μ.
Dados: Se Z tem distribuição normal padrão, então a probabilidade P(Z ≥ 1,96) = 0,025; a probabilidade P(Z ≥ 1,64) = 0,050; e a probabilidade P(Z ≥ 1,28) = 0,100.
Se este segundo intervalo apresentou um limite superior igual a 413,92, então, o respectivo limite inferior é igual a
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Uma amostra aleatória de tamanho 3 (X, Y, Z) é extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída com média μ e variância unitária. Seja E = (m – 1)X – (m – n)Y – (4 – n)Z a classe dos estimadores não viesados utilizados para estimar a média μ da população. Dado que m e n são parâmetros reais, entre os estimadores dessa classe o mais eficiente apresenta uma variância igual a
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No Serviço de Atendimento ao Consumidor (SAC) de uma empresa, o número de reclamações registradas diariamente tem uma distribuição de Poisson com média de λ reclamações por dia. Sabe-se que a probabilidade de ocorrerem duas reclamações em um dia é igual ao dobro da probabilidade de ocorrer apenas uma reclamação no mesmo dia. A probabilidade de ocorrerem pelo menos 2 atendimentos em um dia é de:
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Um equipamento tem a duração t, em horas, de acordo com função densidade de probabilidade !$ f(t) = { \large 1 \over 100}e^{-1/100} !$ (distribuição exponencial), com t > 0. Dado que esse equipamento já durou, em horas, o dobro da média correspondente, então, a probabilidade de ele durar pelo menos mais 100 horas é igual a:
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Com relação às propriedades da esperança E(X) e da variância σ2(X) de uma variável aleatória X, é correto afirmar que:
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