Considere que uma amostra aleatória simples de n indivíduos a ser retirada de uma grande população seja representada por um vetor aleatório X^T = (X₁, X₂ , ..., X_n)^T, em que o índice sobrescrito T indica transposto. A média e o desvio padrão dessa população são iguais a μ e σ, respectivamente. Considere também que U seja um vetor de dimensão n × 1 cujos elementos são todos unitários. Com base nessas informações, julgue o item a seguir.

A variância de U^T X/n é igual a σ².

Considere que uma amostra aleatória simples de n indivíduos a ser retirada de uma grande população seja representada por um vetor aleatório X^T = (X₁, X₂ , ..., X_n)^T, em que o índice sobrescrito T indica transposto. A média e o desvio padrão dessa população são iguais a μ e σ, respectivamente. Considere também que U seja um vetor de dimensão n × 1 cujos elementos são todos unitários. Com base nessas informações, julgue o item a seguir.

O valor esperado da forma quadrática !$ \mathbf{ Q = ( X -\mu U)} \mathbf{ ( X - \mu U)^T} !$ é uma matriz simétrica positiva definida.

Considere que uma amostra aleatória simples de n indivíduos a ser retirada de uma grande população seja representada por um vetor aleatório X^T = (X₁, X₂ , ..., X_n)^T, em que o índice sobrescrito T indica transposto. A média e o desvio padrão dessa população são iguais a μ e σ, respectivamente. Considere também que U seja um vetor de dimensão n × 1 cujos elementos são todos unitários. Com base nessas informações, julgue o item a seguir.

O valor esperado de X^T U é igual a nμ.

Considere que uma amostra aleatória simples de n indivíduos a ser retirada de uma grande população seja representada por um vetor aleatório X^T = (X₁, X₂ , ..., X_n)^T, em que o índice sobrescrito T indica transposto. A média e o desvio padrão dessa população são iguais a μ e σ, respectivamente. Considere também que U seja um vetor de dimensão n × 1 cujos elementos são todos unitários. Com base nessas informações, julgue o item a seguir.

A diferença !$ \mathbf{ E ( \displaystyle \prod_{i=1}^n X_t) - \mu^n} !$, em que E( ) representa a função valor esperado, é nula.

Considere que uma amostra aleatória simples de n indivíduos a ser retirada de uma grande população seja representada por um vetor aleatório X^T = (X₁, X₂ , ..., X_n)^T, em que o índice sobrescrito T indica transposto. A média e o desvio padrão dessa população são iguais a μ e σ, respectivamente. Considere também que U seja um vetor de dimensão n × 1 cujos elementos são todos unitários. Com base nessas informações, julgue o item a seguir.

O valor esperado do produto X^T X é igual a !$ \mathbf{ n( \sigma^2 + \mu^2)} !$

Considere que o tempo gasto para a análise de recursos administrativos pelos servidores de determinada prefeitura seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição acumulada é dada por !$ \mathbf{ F(x) = 1 -exp(-5x)} !$ , se !$ x \ge 0 !$ e !$ \mathbf{ F(x) = 0} !$, se !$ x < 0 !$, em que exp( ) representa a função exponencial. Com base nessas informações, julgue o item subsequente.

Considere que Y₁ e Y₂ sejam duas variáveis independentes e identicamente distribuídas como X. Nessa situação, a distribuição da soma Y₁ + Y₂ segue uma distribuição gama.

Considere que o tempo gasto para a análise de recursos administrativos pelos servidores de determinada prefeitura seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição acumulada é dada por !$ \mathbf{ F(x) = 1 -exp(-5x)} !$ , se !$ x \ge 0 !$ e !$ \mathbf{ F(x) = 0} !$, se !$ x < 0 !$, em que exp( ) representa a função exponencial. Com base nessas informações, julgue o item subsequente.

Considere a transformação !$ \mathbf{ Y = exp (-5X)} !$. Nessa situação, a probabilidade !$ \mathbf{ P(Y < 0,9)} !$ é superior a 0,8.

Considere que o tempo gasto para a análise de recursos administrativos pelos servidores de determinada prefeitura seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição acumulada é dada por !$ \mathbf{ F(x) = 1 -exp(-5x)} !$ , se !$ x \ge 0 !$ e !$ \mathbf{ F(x) = 0} !$, se !$ x < 0 !$, em que exp( ) representa a função exponencial. Com base nessas informações, julgue o item subsequente.

A probabilidade condicional !$ \mathbf{ P(X > 2 | X > 1)} !$é igual à probabilidade !$ \mathbf{ P(X > 1)} !$.

Considere que o tempo gasto para a análise de recursos administrativos pelos servidores de determinada prefeitura seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição acumulada é dada por !$ \mathbf{ F(x) = 1 -exp(-5x)} !$ , se !$ x \ge 0 !$ e !$ \mathbf{ F(x) = 0} !$, se !$ x < 0 !$, em que exp( ) representa a função exponencial. Com base nessas informações, julgue o item subsequente.

A distribuição de X possui assimetria positiva.

Considere que o tempo gasto para a análise de recursos administrativos pelos servidores de determinada prefeitura seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição acumulada é dada por !$ \mathbf{ F(x) = 1 -exp(-5x)} !$ , se !$ x \ge 0 !$ e !$ \mathbf{ F(x) = 0} !$, se !$ x < 0 !$, em que exp( ) representa a função exponencial. Com base nessas informações, julgue o item subsequente.

A função densidade de probabilidade da variável aleatória X é !$ \mathbf{ F(x) = 5 exp(-5x)} !$.