Para testar a hipótese nula de igualdade entre duas médias populacionais de variáveis aleatórias X e Y normalmente distribuídas com variâncias supostas iguais e desconhecidas, duas amostras independentes foram observadas, uma para a variável X, outra para a variável Y.

Os dados obtidos estão resumidos na tabela a seguir.

O valor da estatística T usual, nesse caso, é aproximadamente igual a

Para testar a hipótese nula H0 de igualdade entre 5 médias populacionais a seguinte tabela ANOVA foi obtida (alguns dados estão omitidos). Há um total de 100 observações.

Sob a hipótese nula, o valor da estatística F é então aproximadamente igual a

Avalie se as afirmativas a seguir, acerca das características de um bom estimador são falsas (F) ou verdadeiras (V).

( ) Um bom estimador de um parâmetro \( \theta \) deve ser não tendencioso para \( \theta \).

( ) Um bom estimador de um parâmetro \( \theta \) deve ter a maior variância possível.

( ) Um bom estimador de um parâmetro \( \theta \) deve ter erro médio quadrático máximo.

As afirmativas são, respectivamente,

Para testar H₀: \( \mu \) ≤ 30 versus H₁: \( \mu \) > 30, em que \( \mu \) é a média de uma variável populacional suposta normalmente distribuída com variância 64, uma amostra aleatória simples de tamanho 100 será obtida.

Lembre-se de que, se Z tem distribuição normal padrão, P[ Z > 1,64 ] ≈ 0,05.

O teste uniformemente mais potente de tamanho \( \alpha \) = 0,05 rejeitará H₀ se o valor da média amostral observada for maior ou igual a

Para testar a hipótese nula de que uma proporção populacional p de sucessos é menor ou igual a 0,5 contra a hipótese alternativa de que p é maior do que 0,5, uma amostra aleatória simples de tamanho 100 será observada e o critério que rejeita a hipótese nula se a proporção de sucessos amostral for maior do que 0,64 será usado.

A probabilidade de erro tipo I máxima com esse critério é aproximadamente igual a

O tamanho da amostra aleatória simples necessário para que possamos garantir, com 99% de confiança, que o valor da média amostral não se afaste do valor da média populacional por mais de 5% do valor do desvio padrão populacional será, no mínimo, aproximadamente igual a

[Lembre-se de que, se Z tem distribuição normal padrão, então P [ Z < 2,58 ] = 0,995]

Uma amostra aleatória simples X₁, X₂,..., X_n será obtida de uma densidade dada por f(x) = \( \theta \)e^{-\( \theta \)x}, se x > 0, \( \theta \) > 0, f(x) = 0, nos demais casos.

O estimador de máxima verossimilhança de \( \theta \) é dado por

Uma amostra aleatória simples de tamanho 100 foi obtida para estimar uma proporção p populacional de indivíduos que apresentam uma característica A. Como resultado, 36 indivíduos amostrais apresentaram a característica A.

Lembre-se que de, se Z tem distribuição normal padrão, então P [ Z < 1.96 ] = 0,975. Usando a estimativa de p no lugar do valor desconhecido, um intervalo de 95% de confiança para p será dado aproximadamente por

Uma amostra aleatória simples x1, x2,..., x25, de tamanho 25 foi obtida de uma variável populacional normalmente distribuída com média \( \mu \) desconhecida e variância \( \sigma \)² = 100. A média amostral obtida foi \( \overline{x} \)= 60.

Lembre-se de que, se Z tem distribuição normal padrão, então P [ Z < 1.96 ] = 0,975.

Um intervalo de 95% de confiança para \( \mu \) será então dado por

Se Z₁, Z₂, ... Z_n são n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas N(0, 1), então a variável\( \sum_{i=1}^nZ_1^2 \) tem distribuição