Dada uma variável aleatória bidimensional !$ (X, Y) !$ com função densidade de probabilidade conjunta !$ f(x,y)=10e^{-2(x+y)} !$, !$ x > 0 !$, !$ y > 0 !$. A esperança condicional !$ E(Y \mid X =x) !$ é:

Sejam !$ X_1 !$, !$ X_2 !$, ... !$ X_n !$ uma amostra aleatória independente da variável aleatória !$ X !$ com distribuição normal com média !$ \mu !$ e variância 1. Considere também !$ Y=X_1 + X_2+ \cdots + X_n !$. Considere, ainda, os três seguintes estimadores para !$ \mu: L={\large{y \over n}} !$, !$ M={\large{X+Y \over 1+n}} !$ e !$ N={\large{Y+n \sqrt n \over n}} !$.

É verdade que:

Seja duas variáveis aleatórias discretas !$ (X, Y) !$, onde o par tem a função de probabilidade conjunta !$ P (X=x, Y=y)=θ^{x+y-1} !$ se !$ x,y = 1,2,3 !$, para algum !$ θ > 0 !$ e zero caso contrário.

Com base nas informações, analise os itens seguintes e marque a alternativa correta:

I - !$ θ + 2 θ^2 + 3 θ^3 + 2 θ^4+ θ^5=1 !$

II - !$ E(XY)= θ + 4 θ^2+10 θ^3+ 12 θ^4+ 9 θ^5 !$

III - !$ E(Y)=θ+3θ^2+6 θ^3+5 θ^4 + 3 θ^5 !$

Com relação aos modelos de lineares generalizados de regressão, analise as afirmativas seguintes:

I - A média e a função da média são lineares;

II - Permite modelar todas as distribuições dentro da família exponencial;

III - !$ y_1 !$, !$ y_2 !$, ... !$ y_n !$ são observações independentes.

Marque a alternativa correta:

O tempo de vida de um dispositivo eletrônico tem função densidade de probabilidade !$ f(x)=θ e^{- θ x} !$, !$ x > 0 !$, !$ θ > 0 !$. Para estimar !$ θ !$, testamos !$ n !$ dispositivos. Para diminuir os custos, não são observadas as vidas dos dispositivos, mas anotamos no instante !$ T !$, o número !$ r(r < n) !$ de dispositivos que falham (logo, existirão !$ (n-r) !$ dispositivos na amostra com vida maior que T). Obtenha o Estimador de Máxima Verossimilhança de !$ θ !$.

Seja !$ X !$ uma variável aleatória que segue distribuição normal com média !$ \mu !$ e variância !$ σ^2=9 !$. As médias de !$ X !$ para a qual !$ P(X > 12)=0,9495 !$ e !$ P(X > 10)=0,025 !$ são respectivamente iguais a:

Seja !$ X !$ uniformemente distribuída no intervalo !$ [0,1] !$ e !$ Y=X^2 !$. A função densidade e a esperança de !$ Y !$ são dadas, respectivamente, por:

Supondo que uma variável aleatória !$ (x,y) !$ tenha uma função densidade de probabilidade conjuntada da por !$ f(x,y)=e^{-2(x+y)} !$, !$ x !$, !$ y > 0 !$. Com a informação dada, determine !$ P(x > y) !$.

Deseja-se estimar o número de alunas por escola em certa cidade. A população, composta por 200 escolas, foi dividida geograficamente em 40 regiões, das quais 4 foram selecionadas ao acaso. Cada região possui exatamente 5 escolas. Os resultados estão apresentados na tabela a seguir

Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os itens a seguir:

I. O levantamento foi realizado por amostragem aleatória estratificada, em que cada região forma um estrato.

II. No total, foram observadas 1834 alunas e a alocação foi, aproximadamente, uniforme entre os estratos.

III. O levantamento foi realizado em um estágio e a unidade amostral primária foi a região.

Marque a alternativa correta:

Dadas duas amostras aleatórias independentes !$ (X_1, X_2, X_3, X_4) !$ e !$ (Y_1, Y_2, Y_3, Y_4) !$, extraídas, respectivamente de uma população !$ X ~N !$ !$ (\mu_1, σ^2_1) !$ e !$ Y ~N (\mu_2, σ^2_2) !$. Sabendo-se as médias amostrais são respectivamente iguais a: !$ \bar{x}=15 !$ e !$ \bar{y}=9 !$. Supondo !$ σ^2_1=16 !$, !$ σ^2_2=20 !$, um intervalo de confiança para !$ (\mu_1-\mu_2) !$ com coeficiente de confiança !$ y=92,8\% !$ é dado por: