Considerando o problema de maximização da função !$ f (x_1, x_2) = x_1 + 2x_2 !$, sujeita às restrições: !$ x_2 - x_1 \le 2; x_1 + x_2 \ge 3; x_1 + x_2 \le 7; x_1 \ge 0 !$ e !$ x_2 \ge 0, !$ julgue o item seguinte.

O vértice ótimo é o ponto (7, 0).

Considerando o problema de maximização da função !$ f (x_1, x_2) = x_1 + 2x_2 !$, sujeita às restrições: !$ x_2 - x_1 \le 2; x_1 + x_2 \ge 3; x_1 + x_2 \le 7; x_1 \ge 0 !$ e !$ x_2 \ge 0, !$ julgue o item seguinte.

A inversão da desigualdade na restrição !$ x_1 + x_2 \le 7 !$ não altera o ponto ótimo do sistema.

Com relação a integração numérica, julgue o item a seguir.

A integral imprópria de uma função !$ f(x) !$, de !$ - \infty !$ a !$ + \infty !$, pode ser calculada como uma soma finita de segmentos, tomando !$ {x = { t \over 1 - t^2}}, !$ em que !$ |t| < 1 !$.

Considere que para integrar uma função !$ f(x) !$ sobre o intervalo !$ a < \times < b !$, um estudante adotou o seguinte procedimento: dividiu o intervalo !$ a < \times < b !$ em subintervalos !$ x_{h-1} < x < x_h !$, em que !$ h = 1, ..., k !$, de forma que !$ a = x_1 < x_2 < \cdots < x_k = b !$ e
!$ x_h - x_{h - 1} = \delta < 1 !$; calculou a integral numericamente, efetuando a aproximação, !$ \int_{a}^{b} f(x) dx \tilde {=} \sum \limits_{ h =2}^{k} !$ !$ {f(x_h) - f(x_h - 1) \over 2}. !$

Nessa situação, é correto afirmar que o resultado obtido apresentou uma aproximação ruim para a integral desejada.

A tabela acima apresenta a distribuição percentual da população brasileira em área rural e urbana, nos períodos de 1940 a 2000. A coluna "êxodo rural" mostra o percentual das pessoas que migraram do campo para a área urbana. Com base nessas informações, julgue o item subsequente.

Se o êxodo rural na década 2000-2010 permaneceu igual ao da década anterior, então o percentual da população brasileira residente em área rural em 2010 foi igual 8,77%.

A tabela acima apresenta a distribuição percentual da população brasileira em área rural e urbana, nos períodos de 1940 a 2000. A coluna "êxodo rural" mostra o percentual das pessoas que migraram do campo para a área urbana. Com base nessas informações, julgue o item subsequente.

Supondo que, em cada década, a taxa de êxodo rural seja linear, é correto estimar que em 1966 a população urbana no Brasil tinha o mesmo tamanho da população rural.

Com respeito ao método de Newton-Raphson para a obtenção de estimativas de máxima verossimilhança para determinado parâmetro !$ \theta !$, julgue o item subsecutivo.

Se !$ x_1, x_2, \, ..., \, x_n !$ for uma amostra aleatória simples de uma distribuição normal com média desconhecida !$ \mu !$ e desvio padrão conhecido !$ \sigma !$, o incremento a cada passo do algoritmo na estimativa de máxima verossimilhança para !$ \mu !$ erá dado por !$ \overline {x} - \mu !$, em que !$ \overline {x} !$ é a média amostral.

Com respeito ao método de Newton-Raphson para a obtenção de estimativas de máxima verossimilhança para determinado parâmetro !$ \theta !$, julgue o item subsecutivo.

Se o algoritmo de Newton-Raphson for iniciado em um ponto !$ P_0 !$ de máximo local da função logaritmo da função de verossimilhança, e se houver um ponto distinto, !$ P_{\mathrm\,{g}} !$, de máximo global, então o algoritmo não convergirá para !$ P_{\mathrm g} !$.

Com relação ao algoritmo EM (expectation-maximization), julgue o item que se segue.

Se X e Y forem variáveis aleatórias independentes e se !$ \theta !$ for um parâmetro da distribuição de X, em que X é uma variável não observada, então o algoritmo EM será um método adequado para se obter estimativas de máxima verossimilhança para !$ \theta !$.