Julgue o item seguinte, referente a regressão linear e séries temporais.

Para o modelo de regressão linear simples !$ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon !$, em que !$ \varepsilon \sim N(0, \sigma^2) !$ é uma variável aleatória independente de X, se !$ Y^{ \prime} = \beta_0 + \beta_1\,X !$ então !$ E[ (Y - EY)^2 ] = E[( Y^{ \prime} - EY)^2 ] !$.

Julgue o item seguinte, referente a regressão linear e séries temporais.

O processo autorregressivo !$ X_t = { \large 3 \sqrt{2} -4 \over 6} X_{t-1}+ { \large \sqrt{2} \over 3} X_{t -2} + \varepsilon_t !$, com !$ \varepsilon_t \sim N (0,1) !$, de ordem 2, é estacionário.

Considerando !$ \phi^{-1} (0,95) = 1,65 !$ e!$ \phi^{-1}(0,975) = 1,96 !$, julgue o item a seguir, relativo à inferência estatística.

Se !$ X_1 = 11,5,\,X_2 = 14,25,\,X_3 = 17,75 !$ e !$ X_4 = 13,5 !$ são amostras aleatórias de uma distribuição normal !$ N( \mu, 9) !$ com média !$ \mu !$ desconhecida, então, nesse caso, para o teste com hipóteses !$ { }^{\prime}H_0: \mu = 12^{ \prime} !$ e !$ { }^{ \prime} H_1 : \mu \neq 12^{ \prime} !$ a hipótese nula deve ser aceita, considerando-se um nível de confiança de 95%.

Considerando !$ \phi^{-1} (0,95) = 1,65 !$ e!$ \phi^{-1}(0,975) = 1,96 !$, julgue o item a seguir, relativo à inferência estatística.

Considere que !$ X_1 = 1, X_2 = 2 !$ e !$ X_3 =4 !$ sejam amostras que satisfazem à condição de que !$ X_i \sim !$ binomial (5, θ), para i = 1, 2, 3. Nessa situação, a função de verossimilhança para estimação do parâmetro θ é dada por !$ \mathcal{L} (\theta | 1,2,4) = 50. \theta^7 (1 - \theta)^8 !$.

Considerando !$ \phi^{-1} (0,95) = 1,65 !$ e!$ \phi^{-1}(0,975) = 1,96 !$, julgue o item a seguir, relativo à inferência estatística.

No caso de Θ ser um estimador não viesado de uma variável !$ \theta !$, se T for uma variável aleatória qualquer, então o estimador !$ \Theta^{ \prime} =\Theta + T !$ é também um estimador não viesado.

Com base no teorema central do limite e na lei dos grandes números, julgue o próximo item, considerando !$ \phi^{-1} (0,975) = 1,96 !$.

Suponha que sejam escolhidos aleatoriamente 1.024 números do intervalo [0, 1], satisfazendo-se uma distribuição uniforme, e que X_i represente o i-ésimo número escolhido. Nesse caso, se !$ \bar{X} = { \large X_1 = X_2 + \cdots + X_{1.024} \over 1.024} !$, então, pela lei dos grandes números, garante-se que !$ P \left( | \bar{X} - { \large 1 \over 2} | \ge { \large 1 \over 16} \right) \le { \large 1 \over 48} !$.

Com base no teorema central do limite e na lei dos grandes números, julgue o próximo item, considerando !$ \phi^{-1} (0,975) = 1,96 !$.

Considere que !$ X_1, X_2, \cdots, X_n !$ sejam variáveis aleatórias com distribuições exponenciais de parâmetro !$ \lambda = 1/2 !$ independentes e identicamente distribuídas. Nesse caso, se !$ \bar{X} = { \large X_1+ X_2 + \cdots + X_n \over n} !$, então, para que !$ P( 1,5 \le \bar{X} \le 2,5) \ge 0,95 !$, é necessário que !$ n\,\ge\,62 !$.

Considerando a tabela precedente, que apresenta a função massa de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas, X e Y, julgue o item que se segue.

!$ P( X =2) = { \large 19 \over 48} !$.

Considerando a tabela precedente, que apresenta a função massa de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas, X e Y, julgue o item que se segue.

As distribuições X e Y são independentes.

Com relação a probabilidade e variáveis aleatórias, julgue o item a seguir.

Considere que X seja uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade apresentada a seguir.

Se X é uma variável aleatória geométrica de parâmetro 1/3, então o valor esperado da variável aleatória !$ Y = { \large 1 \over 5^X} !$ é !$ E \left [ { \large 1 \over 5^X} \right ] = { \large 1 \over 15} !$.