Probabilidades condicionais podem ser utilizadas para calcular probabilidades não condicionais. Assinale a alternativa que contém: a função de densidade marginal de X e a densidade conjunta de X e Y, obtidas da densidade condicional de X dado Y.

Para a estimação das raízes de uma equação, um dos métodos utilizados é o algoritmo de Newton-Raphson. Suponha que seja necessário encontrar a solução de uma equação diferenciável, f(x)=0. O passo crucial na iteração do método de Newton-Rapson, dado um valor \( x_k \) , é a obtenção de um novo valor \( x_{k+1} \) , o qual é estimado da seguinte forma:

Na análise de séries temporais, a suposição básica é que há um sistema causal mais ou menos constante, relacionado com o tempo, cuja influência sobre os dados no passado pode continuar no futuro. No tipo mais simples de série temporal, os valores da série flutuam aleatoriamente em torno de um valor fixo, sem apresentar qualquer tendência. Um modelo razoável para uma série desse tipo é \( Z_t = μ + e_i \) onde \( Z_i \) representa os valores da série, \( μ \) é o valor em torno do qual os valores flutuam e \( e_i \) são os erros aleatórios. O método da suavização exponencial é uma forma de estimar \( μ \) . Consiste em supor que \( μ \) é uma média ponderada dos valores passados da série. Assinale a alternativa que matematicamente representa tal método. ( \( \alpha \) constante de suavização 0< \( \alpha \)<1).

Os limites de controle em gráficos de controle de qualidade, nos EUA, são determinados como um múltiplo do desvio-padrão, em geral 3 desvios-padrão. Assim sendo, os limites 3 sigmas são normalmente empregados em gráficos de controle. Utilizando esse procedimento, obtenha a linha média e os limites de controle para os dados da seguinte amostra, os quais representam o número de queijos, produzido em uma indústria de pequeno porte, que apresenta peso inferior a 500 g após 3 dias de fabricação. Considere que, da produção, foram selecionados, diáriamente, 200 queijos durante 10 dias e guardados por 3 dias. Após esse período, eles foram pesados e classificados. Segue o número de queijos com pesos inferiores nos 10 dias observados: 13, 8, 10, 15, 12, 9, 6, 4, 12, 7.

Os valores que seguem representam a quantidade, em quilogramas, de tomates colhidos em 8 parcelas de uma plantação.

289; 243; 232; 210; 210; 224; 239; 244.

O produtor deseja descrever sua produção utilizando as medidas descritivas de posição. Assinale a alternativa que apresenta tais medidas.

Um modelo de regressão linear simples, formalmente, pode ser representado por: \( Y_i = \alpha + \beta x_i + e_i \), i=1, 2, ..., n, em que Y é uma variável, aleatória, resposta dependente de X que é uma variável independente, \( \alpha \) e \( \beta \) são os parâmetros do modelo e \( e_i \) são os erros aleatórios. Os estimadores de mínimos quadrados de \( \alpha \) e \( \beta \) são denotados por \( \widehat \alpha \) e \( \widehat \beta. \) Assinale a alternativa que representa a variância de \( \widehat \alpha \).