Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 2 - Dados dois números reais !$ x, y ∈ \mathbb{R} !$, vale a desigualdade !$ \left\vert x-y \right\vert \ge 1 !$ se, e somente se, !$ x \ge y+1 !$.

Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 1 - Para todo número real !$ x ∈ \mathbb{R} !$, vale que !$ x+\sqrt{x^2+1}>0 !$.

Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 0 - Para todo número natural !$ n \ge 1 !$, vale que !$ \sum_{k=1}^n ln \left(1+ {\large{1 \over k}} \right)=ln(n+1) !$, em que !$ in(a) !$ representa o logaritmo natural de !$ a > 0 !$.

Seja V um espaço vetorial sobre os números reais. Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 4 - Para o caso em que !$ V !$ é o conjunto das matrizes reais !$ 2 \times 2 !$, em que a soma entre matrizes e a multiplicação por escalares são feitas da forma padrão entrada a entrada, o subconjunto das matrizes reais do tipo !$ \begin{bmatrix} a & c \\ c & d \end{bmatrix} !$ com !$ ad=0 !$ não forma um subespaço vetorial de !$ V !$.

Seja V um espaço vetorial sobre os números reais. Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 3 - Para o caso em que !$ V= \mathbb{R}^2 !$, qualquer elemento do conjunto !$ \{(x_1,x_2) ∈ \, V:x_1-x_2=1\} !$ pode ser expresso como a soma de (1,1) com algum elemento do conjunto !$ \{(x_1 , x_2) ∈ \, V: x_1-x_2=0 \} !$.

Suponha que um pesquisador deseje estimar as duas equações abaixo:

(1) !$ ln(Y)=\beta_0+\beta_1 ln(X)+u !$,

(2) !$ ln \left({\large{Y \over X}} \right)=\alpha_0+\alpha_1 ln(X)+ν !$,

em que !$ u !$ e !$ ν !$ são os termos de erro em cada equação, e !$ X > 0 !$ e !$ Y > 0 !$.

Defina !$ y+ln(Y) !$, !$ x=ln(X) !$ e !$ z=ln\left({\large{Y \over X}} \right) !$. Usando uma mesma amostra aleatória da população de tamanho !$ n !$, o pesquisador estima essas duas equações pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), obtendo os seguintes resultados:

(3) !$ \hat{y}=b_0+b_1x !$,

(4) !$ \hat{z}=\alpha_0+\alpha_1x !$.

Com base nessas informações, julgue a afirmativa abaixo:

Item 3 - Os resíduos nas equações (3) e (4) são idênticos.

Seja V um espaço vetorial sobre os números reais. Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 2 - Para o caso em que !$ V= \mathbb{R}^3 !$, e !$ A !$ e !$ B !$ são duas matrizes reais !$ 3 \times 3 !$, suponha que !$ W_1 !$ é o núcleo de !$ A !$ e !$ W_2 !$ é o núcleo de !$ B !$. Portanto, !$ W_1 !$ e !$ W_2 !$ são subespaços vetoriais de !$ V !$, e o conjunto !$ \{w_1+w_2 ∈ \mathbb{R}^3: w_1 ∈ W_1, w_2 ∈ W_2 \} !$ é o núcleo da matriz !$ A+B !$.

Seja V um espaço vetorial sobre os números reais. Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 1 - Se !$ W_1 !$ e !$ W_2 !$ são subespaços vetoriais de V, então o conjunto !$ \{w_1-w_2:w_1 ∈ W_1, w_2 ∈ W_2 \} !$ também é um subespaço vetorial de V.

Seja V um espaço vetorial sobre os números reais. Classifique o seguinte item como certo ou errado:

Item 0 - Se !$ \{v_1, v_2, v_3 \} ⊆ V !$ é um conjunto linearmente independente, então o conjunto !$ \{v_1-v_3, v_2-v_3, v_3\} !$ também é linearmente independente.

Seja !$ \mathbb{R} !$ o conjunto dos números reais. Dado um subconjunto finito !$ A \subseteq \mathbb{R} !$, denote por !$ card(A) !$ a sua cardinalidade (ou seja, o número de elementos em A). Classifique a seguinte item como certo ou errado:

Item 4 - Dados dois subconjuntos finitos !$ A !$, !$ B\subseteq \mathbb{R} !$ tais que !$ card(A) < card(B) !$, é possível encontrar uma função sobrejetora !$ f: A \rightarrow B !$.