Suponha que !$ X !$ seja uma variável aleatória com Distribuição de Bernoulli com parâmetro !$ p !$, em que !$ 0 < p < 1 !$. Ou seja:

!$ X = \begin{cases} 1 \, com \, probabilidade(p) \\ 0 \, com \, probabilidade(1-p) \end{cases} !$

Para uma amostra aleatória de !$ X !$ com quatro observações (!$ X_1, X_2,X_3,X_4 !$) é considerado o seguinte estimador para !$ p !$:

!$ T=\dfrac{(\sum^4_{i=1}X_i)+1}{6} !$

É correto a afirmativa sobre esse estimador:

Item 0 - Para !$ p=\dfrac{1}{2} !$ o estimador é não tendencioso.

Considere uma variável aleatória !$ X !$ com distribuição normal, média desconhecida igual a !$ \mu !$, e variância desconhecida igual a !$ \sigma^2 !$. Suponha que uma amostra aleatória de 25 observações foi retirada com o objetivo de testar as seguintes hipóteses:

!$ H_0:\mu = 100\\H_1:\mu\ne 100 !$

Em que !$ H_0 !$ e !$ H_1 !$ são a hipótese nula e a hipótese alternativa, respectivamente.

Nessa amostra foi encontrada uma média igual a !$ 110(\overline{X}=110) !$ e uma variância igual a !$ 400(S^2=400) !$. Considerando que foi escolhido o nível de significância de 10% para esse teste, e que os valores críticos correspondentes são !$ -c=-1,71 !$ e !$ c=1,71 !$, julgue as afirmativas abaixo:

Item 4 - Com os resultados da amostra, a hipótese nula seria rejeitada caso fosse escolhido o nível de significância de 5% para testar as hipóteses:

!$ H_0:\mu = 100\\H_1:\mu\ne 100 !$

Considere uma variável aleatória !$ X !$ com distribuição normal, média desconhecida igual a !$ \mu !$, e variância desconhecida igual a !$ \sigma^2 !$. Suponha que uma amostra aleatória de 25 observações foi retirada com o objetivo de testar as seguintes hipóteses:

!$ H_0:\mu = 100\\H_1:\mu\ne 100 !$

Em que !$ H_0 !$ e !$ H_1 !$ são a hipótese nula e a hipótese alternativa, respectivamente.

Nessa amostra foi encontrada uma média igual a !$ 110(\overline{X}=110) !$ e uma variância igual a !$ 400(S^2=400) !$. Considerando que foi escolhido o nível de significância de 10% para esse teste, e que os valores críticos correspondentes são !$ -c=-1,71 !$ e !$ c=1,71 !$, julgue as afirmativas abaixo:

Item 3 - O intervalo de confiança de 90% para !$ \mu !$ é dado por: !$ 110 \pm (1,71 \times 20) !$.

Considere uma variável aleatória !$ X !$ com distribuição normal, média desconhecida igual a !$ \mu !$, e variância desconhecida igual a !$ \sigma^2 !$. Suponha que uma amostra aleatória de 25 observações foi retirada com o objetivo de testar as seguintes hipóteses:

!$ H_0:\mu = 100\\H_1:\mu\ne 100 !$

Em que !$ H_0 !$ e !$ H_1 !$ são a hipótese nula e a hipótese alternativa, respectivamente.

Nessa amostra foi encontrada uma média igual a !$ 110(\overline{X}=110) !$ e uma variância igual a !$ 400(S^2=400) !$. Considerando que foi escolhido o nível de significância de 10% para esse teste, e que os valores críticos correspondentes são !$ -c=-1,71 !$ e !$ c=1,71 !$, julgue as afirmativas abaixo:

Item 2 - Podemos dizer que o p-valor é maior que 0,10.

Considere uma variável aleatória !$ X !$ com distribuição normal, média desconhecida igual a !$ \mu !$, e variância desconhecida igual a !$ \sigma^2 !$. Suponha que uma amostra aleatória de 25 observações foi retirada com o objetivo de testar as seguintes hipóteses:

!$ H_0:\mu = 100\\H_1:\mu\ne 100 !$

Em que !$ H_0 !$ e !$ H_1 !$ são a hipótese nula e a hipótese alternativa, respectivamente.

Nessa amostra foi encontrada uma média igual a !$ 110(\overline{X}=110) !$ e uma variância igual a !$ 400(S^2=400) !$. Considerando que foi escolhido o nível de significância de 10% para esse teste, e que os valores críticos correspondentes são !$ -c=-1,71 !$ e !$ c=1,71 !$, julgue as afirmativas abaixo:

Item 1 - A hipótese nula não é rejeitada nesse teste.

Considere uma variável aleatória !$ X !$ com distribuição normal, média desconhecida igual a !$ \mu !$, e variância desconhecida igual a !$ \sigma^2 !$. Suponha que uma amostra aleatória de 25 observações foi retirada com o objetivo de testar as seguintes hipóteses:

!$ H_0:\mu = 100\\H_1:\mu\ne 100 !$

Em que !$ H_0 !$ e !$ H_1 !$ são a hipótese nula e a hipótese alternativa, respectivamente.

Nessa amostra foi encontrada uma média igual a !$ 110(\overline{X}=110) !$ e uma variância igual a !$ 400(S^2=400) !$. Considerando que foi escolhido o nível de significância de 10% para esse teste, e que os valores críticos correspondentes são !$ -c=-1,71 !$ e !$ c=1,71 !$, julgue as afirmativas abaixo:

Item 0 - A probabilidade de erro do tipo !$ I !$ é 0,10.

Considere que !$ Y_i, i = 1, ...,n !$são seleções independentes e identicamente distribuídas de uma variável aleatória com Distribuição de Bernoulli com parâmetro !$ p !$. Definindo !$ \epsilon !$ como sendo um número positivo, e !$ k !$ o número de vezes que !$ Y_i !$ é igual a !$ 1 !$ nas !$ n !$ seleções independentes, é correto afirmar:

Item 4 - Suponha que o valor de p seja desconhecido. Sabemos apenas que !$ 0 < p < 1 !$. Mesmo nesse caso, podemos dizer que a condição abaixo é satisfeita:

!$ Prob(|\dfrac{k}{n}-p|\ge \epsilon)\le \dfrac{1}{4n\epsilon^2} !$

Considere que !$ Y_i, i = 1, ...,n !$são seleções independentes e identicamente distribuídas de uma variável aleatória com Distribuição de Bernoulli com parâmetro !$ p !$. Definindo !$ \epsilon !$ como sendo um número positivo, e !$ k !$ o número de vezes que !$ Y_i !$ é igual a !$ 1 !$ nas !$ n !$ seleções independentes, é correto afirmar:

Item 3 - Podemos dizer que !$ \dfrac{k}{n} !$ é um estimador consistente para !$ p !$.

Considere que !$ Y_i, i = 1, ...,n !$são seleções independentes e identicamente distribuídas de uma variável aleatória com Distribuição de Bernoulli com parâmetro !$ p !$. Definindo !$ \epsilon !$ como sendo um número positivo, e !$ k !$ o número de vezes que !$ Y_i !$ é igual a !$ 1 !$ nas !$ n !$ seleções independentes, é correto afirmar:

Item 2- Suponha que !$ p = 0,2 !$. Para que a probabilidade de que !$ (\dfrac{k}{n}-p)<0,1 !$ seja maior ou igual a 0,95, devemos ter: !$ n \ge \dfrac{0,2 \times 0,8}{0,95\times 0,01} !$

Considere que !$ Y_i, i = 1, ...,n !$são seleções independentes e identicamente distribuídas de uma variável aleatória com Distribuição de Bernoulli com parâmetro !$ p !$. Definindo !$ \epsilon !$ como sendo um número positivo, e !$ k !$ o número de vezes que !$ Y_i !$ é igual a !$ 1 !$ nas !$ n !$ seleções independentes, é correto afirmar:

Item 1 - Pela Lei dos Grandes Números:

!$ \lim_{n \rightarrow \infty}[|\dfrac{k}{n}-p| < \epsilon]=1 !$ para todo !$ \epsilon > 0 !$.