Um auditor está interessado em estudar a relação entre consumo de gasolina − y, em litros − e distância percorrida em uma cidade − x, em quilômetros − para certo modelo· de carro. Para isso, ele obteve uma amostra de n = 25 carros e registrou a distância percorrida e o consumo de gasolina correspondente, em certo período de tempo. Considere o modelo de regressão !$ y_i = \alpha + bx_i + u_i !$, para !$ i = 1,2 ..., 25 !$, em que os erros !$ u_i !$ são independentes e normalmente distribuídos, com média !$ 0 !$ e desvio-padrão !$ \sigma_u !$, e os 25 pares de valores apresentados no gráfico abaixo.

Com relação à situação apresentada, julgue o seguinte item.

A estimativa do desvio-padrão do erro da regressão , em que !$ \hat {a} !$ e !$ \hat {b} !$ são as estimativas de !$ a !$ e !$ b !$ pelo método dos mínimos quadrados, é menor que 30 litros.

Considere !$ \{ z_t \, : t \in Z \} !$ um processo estocástico ARIMA (0, 1, 1) satisfazendo !$ z_t-z_{t-1}=a_t- \theta a_{t-1} !$, em que !$ |\theta|<1 !$ e !$ a_t !$ são variáveis aleatórias normais, independentes e identicamente distribuídas, com média zero e variância !$ \sigma_a^2 !$. Definindo !$ w_t=z_t-z_{t-1} !$, julgue os itens abaixo.

!$ a_t= \sum \limits _{j=0}^ {\infty} \psi _j w_{t-j} !$

se, e somente se, !$ \psi_j= \theta^j !$, para !$ j \ge 0 !$.

Na questão, a menos que seja explicitamente informado o contrário, para uma matriz !$ A !$ de ordem !$ m \times n !$, a notação !$ A !$ representa a sua transposta, a expressão !$ \ell n(x) !$ denota o logaritmo nepreriano de !$ x !$ e !$ exp(x) = e^x !$.

Considerando !$ X_1, X_2, ..., X_n !$ uma amostra aleatória da distribuição de Bernoulli com parâmetro !$ p \in [0,1], !$ isto é, !$ P(X_i = 0) = p, !$ e definindo !$ S_n = \sum \limits_{i=1}^{\eta} X_i !$, julgue o item a seguir.

!$ \delta (X_1, ..., X_n) = n^{-1} S_n !$ é o estimador de máxima verossimilhança de !$ p !$.

O problema de estimação de modelos de regressão com variáveis dependentes defasadas aparece, entre outras situações, quando existe o fenômeno de ajuste parcial. Em uma versão simplificada dessa situação, tem-se, para !$ t = 1,2, ..., n, !$

em que é um valor ideal, não-observável, de uma variável econômica, e observa-se que satisfaz

em que são variáveis aleatórias normais e independentes, com média zero e variância Combinando as duas equações acima, obtém-se

em que Representando por os valores que minimizam á soma de quadrados , isto é, os estimadores de mínimos quadrados ordiriános de !$ a !$, !$ b !$ e !$ c !$ na equação I, definindo e assumindo, além das condições anteriores, que os valores são variáveis fixas, não-aleatórias, e que a matriz

converge a uma matriz !$ \sum !$, não-singular. julgue o seguinte item.

!$ \hat {\beta} !$ é assintoticamente eficiente para estimar !$ \beta !$

O problema de estimação de modelos de regressão com variáveis dependentes defasadas aparece, entre outras situações, quando existe o fenômeno de ajuste parcial. Em uma versão simplificada dessa situação, tem-se, para !$ t = 1,2, ..., n, !$

em que é um valor ideal, não-observável, de uma variável econômica, e observa-se que satisfaz

em que são variáveis aleatórias normais e independentes, com média zero e variância Combinando as duas equações acima, obtém-se

em que Representando por os valores que minimizam á soma de quadrados , isto é, os estimadores de mínimos quadrados ordiriános de !$ a !$, !$ b !$ e !$ c !$ na equação I, definindo e assumindo, além das condições anteriores, que os valores são variáveis fixas, não-aleatórias, e que a matriz

converge a uma matriz !$ \sum !$, não-singular. julgue o seguinte item.

!$ \hat {b} !$ é um estimador não-viesado de !$ b !$.

O problema de estimação de modelos de regressão com variáveis dependentes defasadas aparece, entre outras situações, quando existe o fenômeno de ajuste parcial. Em uma versão simplificada dessa situação, tem-se, para !$ t = 1,2, ..., n, !$

em que é um valor ideal, não-observável, de uma variável econômica, e observa-se que satisfaz

em que são variáveis aleatórias normais e independentes, com média zero e variância Combinando as duas equações acima, obtém-se

em que Representando por os valores que minimizam á soma de quadrados , isto é, os estimadores de mínimos quadrados ordiriános de !$ a !$, !$ b !$ e !$ c !$ na equação I, definindo e assumindo, além das condições anteriores, que os valores são variáveis fixas, não-aleatórias, e que a matriz

converge a uma matriz !$ \sum !$, não-singular. julgue o seguinte item.

!$ \hat {\beta} !$ é um estimador de !$ \beta !$, consistente no sentido fraco.

Uma empresa está interessada em estudar o efeito da distribuição de cupons de desconto nas vendas de um certo produto. Desse modo, para cada nível de desconto x_i, i = 1, ..., p, são escolhidas n famílias ao acaso que recebem, cada uma, um cupom de desconto de x_i reais. Algum tempo depois, determina-se o número de cupons utilizados, r_i, i = 1, ..., p . Considere que !$ \pi _i !$ seja a probabilidade de que um cupom de nível x_i seja utilizado. Considere também os dois modelos estatísticos seguintes para o ajuste dos dados dessa situação típica de resposta binária:

Nas expressões acima, !$ \alpha !$ e !$ \beta !$ são parâmetros e F(y) é uma função distribuição de probabilidades conhecida. Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.

Considerando o modelo II, o estimador de máxima verossimilhança de !$ (\alpha, \quad \beta)' !$ é obtido calculando-se o máximo da função

!$ \prod \limits _{i=1} ^ p {n \choose r_i} [F(\alpha+ \beta x_i)]^{r_i} [1-F(\alpha+\beta x_i)]^{n-r_i} !$

Suponha que !$ ( \Omega. \, A. \, P. ) !$ seja um espaço de probabilidade e que !$ X : \Omega \rightarrow \overline {\mathbb{R}} = [ - \infty, \infty] !$ é uma variável aleatória integrável em relação a !$ P !$, isto é,

!$ E (|X|) = \int_\Omega | X (w) | dP < \infty. !$

Dada uma função convexa !$ \varphi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$, a relação !$ \varphi (E (X)) \le \quad E ( \varphi . X) !$ é conhecida na literatura como desigualdade de Jensen. As afirmações abaixo estabelecem uma possível demonstração dessa desigualdade.

I. Pode-se supor sem perde de generalidade, que !$ | X (w) | < \infty !$ para todo !$ w \in \Omega !$.

II. A função composta !$ \varphi \circ \quad X : \Omega \rightarrow \mathbb{R} !$ é uma variável aleatória.

III. O conjunto !$ Epi (\varphi) = \lbrace (x,t) \in \mathbb{R}^2 : \varphi (x) \le t \rbrace !$ é fechado e convexo.

IV. Supondo que !$ \varphi (E(X)) < \infty !$, então existem !$ a, \quad b \in \mathbb{R} !$ tais que

V. A desigualdade de Jensen é optida das duas relações do item IV, integrando-se a segunda delas em relação a !$ P !$.

Com o objetivo de justificar as etapas aqui apresentadas da demonstração da desigualdade de Jensen, julgue o item a seguir.

Se a variável aleatória !$ X : \Omega \rightarrow \overline {\mathbb{R}} !$ for não negativa e integrável, então o conjunto !$ \lbrace w \in \Omega \quad : \quad X(w) = \infty \rbrace !$

Suponha que !$ ( \Omega. \, A. \, P. ) !$ seja um espaço de probabilidade e que !$ X : \Omega \rightarrow \overline {\mathbb{R}} = [ - \infty, \infty] !$ é uma variável aleatória integrável em relação a !$ P !$, isto é,

!$ E (|X|) = \int_\Omega | X (w) | dP < \infty. !$

Dada uma função convexa !$ \varphi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$, a relação !$ \varphi (E (X)) \le \quad E ( \varphi . X) !$ é conhecida na literatura como desigualdade de Jensen. As afirmações abaixo estabelecem uma possível demonstração dessa desigualdade.

I. Pode-se supor sem perde de generalidade, que !$ | X (w) | < \infty !$ para todo !$ w \in \Omega !$.

II. A função composta !$ \varphi \circ \quad X : \Omega \rightarrow \mathbb{R} !$ é uma variável aleatória.

III. O conjunto !$ Epi (\varphi) = \lbrace (x,t) \in \mathbb{R}^2 : \varphi (x) \quad \le t \rbrace !$ é fechado e convexo.

IV. Supondo que !$ \varphi (E(X)) < \infty !$, então existem !$ a, \, b \in \mathbb{R} !$ tais que

V. A desigualdade de Jensen é optida das duas relações do item IV, integrando-se a segunda delas em relação a !$ P !$.

Com o objetivo de justificar as etapas aqui apresentadas da demonstração da desigualdade de Jensen, julgue o item a seguir.

Toda função convexa !$ : !$ !$ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$ é continua.