Suponha que !$ ( \Omega. \, A. \, P. ) !$ seja um espaço de probabilidade e que !$ \lbrace E_n \rbrace !$ seja uma sequência de eventos. Define-se os limites superior e inferior da sequência !$ \lbrace E_n \rbrace !$ pelas relações:

!$ \lim \sup E_n = \bigcap \limits_{n - 1}^{\infty} \bigcup \limits_{k = n}^{\infty} E_k !$ e !$ \lim \inf \quad E_n = \bigcup \limits_{n - 1}^{\infty} \bigcap \limits_{k = n}^{\infty} E_k !$

Define-se, também, que !$ \lbrace E_n \rbrace !$ é uma sequência de eventos independentes se

!$ P (E_{j_1} \bigcap ...\bigcap E_{j_k}) = \prod \limits_{i=1}^{k} P (E_{j_1}) !$

para toda familia de índices !$ 1 \le j_1 < ... < j_k . !$ Com base nessas informações, julgue o item que se segue.

Se !$ \lbrace E_n \rbrace !$ for uma seqüência de eventos independentes, então a série !$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} P (E_n) !$ será convergente se, e somente se, !$ P ( lim \, inf \, E_n) < 1. !$

Considere o ajuste da função de produção CES (elasticidade de substituição constante) a um conjunto de trinta observações das variáveis Q (produção), K (capital) e L (mão-de-óbra). Desse modo, postula-se que

em que é um vetor de parâmetros desconhecidos e os resíduos !$ \in_t !$ são independentes e homocedásticos com variância comum !$ \sigma^2 !$. Considere, ainda, !$ J (\beta) !$ a matriz jacobiana da resposta esperada no modelo de regressão não-linear acima. Sabendo que o ajuste de mínimos quadrados produziu as estatísticas

e que

em que !$ \hat {\beta} !$ é o estimador de !$ \beta !$, julgue o item a seguir.

Os estimadores de mínimos quadrados de !$ \beta_0 !$ e !$ \sigma^2 !$ são não viesados.

Considere um modelo de duas equações simultâneas com a seguinte forma estrutural

em que !$ \beta \ne 1 !$, as variáveis endógenas !$ y_{1t} !$ e !$ y_{2t} !$ e a variável exógena !$ x_t !$ são observadas para !$ t = 1,2, ..., n !$ e os erros !$ u_t !$ são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal de média zero e variância !$ \sigma^2_u > 0. !$

Assumindo que !$ x_t !$ sejam valores fixos (não-aleatórios) e que a matriz convirja a uma matriz !$ \sum !$, não singular, julgue o seguinte item.

O estimador de !$ \beta !$ definido por !$ \hat {b} \over 1 + \hat {b} !$ em que !$ \hat {b} !$ é o estimador de mínimos quadrados ordinários de !$ b !$ na equação !$ y_{1t} = a + bx_t + u_t !$ é viesado em amostras finitas, mas é consistente no sentido fraco.

Deseja-se avaliar o comportamento da variável investimento em um conjunto de firmas. Nesse contexto, a partir de uma amostra aleatória de 10 firmas desse conjunto, observam-se. para cada firma !$ i = 1, ...., 10, !$ em cada ano !$ t = 1, ...., 20, !$ as variáveis investimento !$ y_{it} !$ lucro esperado !$ x_{1it} !$ e estoque de capital !$ x_{2it} !$. Para a evolução dos dados, postula-se o seguinte modelo de componentes de erro

!$ y_{it} = \beta_{0i} + \beta_1 x_{1it} + \beta_2 x_{2it} + \in_{it} . !$

As quantidades !$ \beta_1 !$ e !$ \beta_2 !$ são parâmetros e os componentes de erro !$ \in_{it} !$ são não-correlacionados entre firmas e ao longo dos anos para cada firma. Esses componentes apresentam esperança zero e variância constante !$ \sigma_{\in}^2 !$. Os componentes !$ \beta_{0i} !$ têm a representação !$ \beta_{0i} !$!$ = \eta + a !$, em que !$ a !$ é uma constante desconhecida e !$ \eta_1, ..., \eta_{10} !$ formam uma amostra aleatória de uma população com média zero e variância !$ \sigma_{\eta}^2 !$ . As realizações !$ \eta !$, são independentes dos erros !$ \in_{it} !$.

Com relação a essa situação, julgue o item que se segue.

Representando por !$ y_t !$ o vetor, de dimensão 20 X 1, das observações de investimento para a firma !$ i !$, então a matriz de variâncias e covariâncias de !$ y_i !$ é dada por , em que J, de dimensão 20 X 20, é uma matriz cujas entradas são todas iguais a 1 e l, também de dimensão 20 X 20, é matriz identidade.

Suponha que !$ ( \Omega. \quad A. \quad P. ) !$ seja um espaço de probabilidade e que !$ \lbrace E_n \rbrace !$ seja uma sequência de eventos. Define-se os limites superior e inferior da sequência !$ \lbrace E_n \rbrace !$ pelas relações:

!$ \lim \mbox{sup} E_n = \bigcap \limits _{n=1}^\infty \bigcup \limits _{k=n} ^\infty E_k !$

!$ \lim \mbox{inf} E_n = \bigcup \limits _{n=1}^\infty \bigcap \limits _{k=n} ^\infty E_k !$

Define-se, também, que !$ \lbrace E_n \rbrace !$ é uma sequência de eventos independentes se

!$ P (E_{j_1} \quad \bigcap ...\bigcap \quad E_{j_k}) = \prod \limits_{i=1}^{k} \quad P (E_{j_1}) !$

para toda familia de índices !$ 1 \le j_1 < ... < j_k . !$ Com base nessas informações, julgue o item que se segue.

!$ P( lim \quad sup \quad E_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} \quad P ( \bigcup \limits_{k=n}^{\infty} \quad E_k). !$

Deseja-se estudar, em nível nacional, a evolução do consumo, y, e da renda pessoal disponível, x. Com esse propósito, observam-se os pares (x1,y1) de renda pessoal disponível e consumo em um período de 100 trimestres. Postula-se que !$ y_t = a + \beta x_2 + u_t !$ para para t =1, ...,100. O ajuste de mínimos quadrados ordinários produziu um valor de R² em torno de 98% e uma estatística de Durbin Watson muito abaixo desse valor. Nesse contexto, questiona-se se a regressão é espúria e se realmente existe uma relação de co-integração entre consumo e renda pessoal disponível.

Julgue o item a seguir, utilizando, para isso, as tabelas abaixo.

Tabela I - Valores críticos para o teste de Diskey-Fuller (tendência linear)


Obs: Níveis probabilísticos indicados nas colunas.

W. A. Fuller. lntroduction to statiscal. Time Series, 1996.2^a ed.., p. 242.

Tabela II - Valores críticos para o teste de cointegração de Engel-Granger


Obs.: Níveis probabilísticos indicados nas colunas: m é o número de variáveis na equação de co-integração.

G. J Mackinnon. Estimation and inferrence is econometrics. 1993 p.722

Se o consumo e a renda pessoal disponível são séries temporais integradas, de ordens distintas, então a regressão de y em x pode não ser espúria.

Considere um espaço de probabilidade com uma família de sub-!$ \sigma !$-álgebras Suponha que cada contenha-os, eventos de com !$ P- !$probabilidade nula e que seja um processo de Wiener. Um processo populacional com taxa de crescimento sujeita ao efeito de uma pertubação aleatória origina um processo estocástico , definido pela relação

em que !$ r !$ e !$ a !$ são constantes, a segunda integral é definida no sentido de Ito e N₀ é uma variável aleatória positiva independente de W_t

Nessas condições, julgue o item seguinte.

Suponha que !$ ( \Omega. \, A. \, P. ) !$ seja um espaço de probabilidade e que !$ X : \Omega \rightarrow \overline {\mathbb{R}} = [ - \infty, \infty] !$ é uma variável aleatória integrável em relação a !$ P !$, isto é,

!$ E (|X|) = \int_\Omega | X (w) \ | dP < \infty. !$

Dada uma função convexa !$ \varphi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$, a relação !$ \varphi (E (X)) \le \quad E ( \varphi . X) !$ é conhecida na literatura como desigualdade de Jensen. As afirmações abaixo estabelecem uma possível demonstração dessa desigualdade.

I. Pode-se supor sem perde de generalidade, que !$ | X (w) | < \infty !$ para todo !$ w \in \Omega !$.

II. A função composta !$ \varphi \circ \quad X : \Omega \rightarrow \mathbb{R} !$ é uma variável aleatória.

III. O conjunto !$ Epi (\varphi) = \lbrace (x,t) \in \mathbb{R}^2 : \varphi (x) \quad \le t \rbrace !$ é fechado e convexo.

IV. Supondo que !$ \varphi (E(X)) < \infty !$, então existem !$ a, \, b \in \mathbb{R} !$ tais que

V. A desigualdade de Jensen é obtida das duas relações do item IV, integrando-se a segunda delas em relação a !$ P !$.

Com o objetivo de justificar as etapas aqui apresentadas da demonstração da desigualdade de Jensen, julgue o item a seguir.

Considerando que !$ Y.Z : \Omega \rightarrow \mathbb{R} !$ sejam variáveis aleatórias tais que !$ Z (w) \le Y !$!$ (w) !$ quase certamente em !$ \Omega !$ se !$ Z !$ for integrável, então !$ Y !$ será integravel.