Suponha que !$ ( \Omega. \, A. \, P. ) !$ seja um espaço de probabilidade e que !$ \lbrace E_n \rbrace !$ seja uma sequência de eventos. Define-se os limites superior e inferior da sequência !$ \lbrace E_n \rbrace !$ pelas relações:

!$ \lim \sup \quad E_n = \bigcap \limits_{n - 1}^{\infty} \bigcup \limits_{k = n}^{\infty} E_k !$ e !$ \lim \inf E_n = \bigcup \limits_{n - 1}^{\infty} \bigcap \limits_{k = n}^{\infty} E_k !$

Define-se, também, que !$ \lbrace E_n \rbrace !$ é uma sequência de eventos independentes se

!$ P (E_{j_1} \bigcap ...\bigcap E_{j_k}) = \prod \limits_{i=1}^{k} P (E_{j_1}) !$

para toda familia de índices !$ 1 \le j_1 < ... < j_k . !$ Com base nessas informações, julgue o item que se segue.

Se !$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} P (E_n) !$ for divergente, então !$ P ( \lim \sup \quad E_n) = 1. !$

Na questão, a menos que seja explicitamente informado o contrário, para uma matriz !$ A !$ de ordem !$ m \times n !$, a notação !$ A !$ representa a sua transposta, a expressão !$ \ell n(x) !$ denota o logaritmo nepreriano de !$ x !$ e !$ exp(x) = e^x !$.

Considerando !$ X_1, X_2, ..., X_n !$ uma amostra aleatória da distribuição de Bernoulli com parâmetro !$ p \in [0,1], !$ isto é, !$ P(X_i = 0) = p, !$ e definindo !$ S_n = \sum \limits_{i=1}^{\eta} X_i !$, julgue o item a seguir.

!$ S_n !$ não é uma estatística minimal suficiente.

Considere um espaço de probabilidade com uma família de sub-!$ \sigma !$-álgebras Suponha que cada contenha-os, eventos de com !$ P- !$probabilidade nula e que seja um processo de Wiener. Um processo populacional com taxa de crescimento sujeita ao efeito de uma pertubação aleatória origina um processo estocástico , definido pela relação

em que !$ r !$ e !$ a !$ são constantes, a segunda integral é definida no sentido de Ito e N₀ é uma variável aleatória positiva independente de W_t

Nessas condições, julgue o item seguinte.

Considere X um vetor aleatório cuja distribuição !$ P_{\theta} !$ é conhecida a menos de um parâmetro real !$ \theta !$, T = T(X) uma estatística suficiente e !$ \delta=\delta(X) !$ um estimador de !$ \theta !$ com !$ E_{\theta}[L(\theta, \delta(X))] < \infty !$, em que !$ L(\theta, d) !$ é uma função perda, estritamente convexa, e !$ E_{\theta} !$ denota a esperança com respeito à distribuição !$ P_{\theta} !$. Um dos resultados fundamentais na teoria da estimação é o teorema de Rao-Blackwell, que estabelece, no contexto acima, que !$ \eta = \eta (X) !$, definido por !$ \eta (X)=E_{ \theta} [\delta(X)| T=T(x)] !$, é um estimador de !$ \theta !$ tal que, para todo !$ \theta !$

!$ E_\theta L(\theta, \eta) \le E_\theta[ L(\theta, \delta)] \quad \mbox{I} !$

Em algumas aplicações desse teorema, utiliza-se a hipótese adicional da estatística suficiente T ser completa, o que significa que, se g é mensurável e !$ E_{\theta}[g(T)] \equiv 0 !$ , então !$ P_{\theta}(g(T)=0) \equiv 1 !$.

Com relação à situação descrita, julgue o seguinte item.

Se a estatística T é minimal suficiente, então T é uma estatística completa.

Um auditor está interessado em estudar a relação entre consumo de gasolina − y, em litros − e distância percorrida em uma cidade − x, em quilômetros − para certo modelo· de carro. Para isso, ele obteve uma amostra de n = 25 carros e registrou a distância percorrida e o consumo de gasolina correspondente, em certo período de tempo. Considere o modelo de regressão !$ y_i = \alpha + bx_i + u_i !$, para !$ i = 1,2 ..., 25 !$, em que os erros !$ u_i !$ são independentes e normalmente distribuídos, com média !$ 0 !$ e desvio-padrão !$ \sigma_u !$, e os 25 pares de valores apresentados no gráfico abaixo.

Com relação à situação apresentada, julgue o seguinte item.

O valor estimado de b pelo método dos mínimos quadrados é menor que 0,30.

Na questão, a menos que seja explicitamente informado o contrário, para uma matriz !$ A !$ de ordem !$ m \times n !$, a notação !$ A !$ representa a sua transposta, a expressão !$ \ell n(x) !$ denota o logaritmo nepreriano de !$ x !$ e !$ exp(x) = e^x !$.

Considerando !$ X_1, X_2, ..., X_n !$ uma amostra aleatória da distribuição de Bernoulli com parâmetro !$ p \in [0,1], !$ isto é, !$ P(X_i = 0) = p, !$ e definindo !$ S_n = \sum \limits_{i=1}^{\eta} X_i !$, julgue o item a seguir.

Se !$ \eta = \eta (X_1, ..., X_n) !$ é um estimador de !$ p !$ tal que a esperança !$ E (\eta) !$ !$ = p !$ para todo !$ p \in [0,1] !$, então a variância !$ Var (\eta) \ge n^{-1} \quad p(1 - p). !$

O gerente de uma unidade organizacional, responsável pela avaliação técnica de determinadas atividades, rejeitou a oferta de vagas em um programa de capacitação gerencial centrado nos aspectos estratégicos da organização, alegando que seus empregados, dada a natureza da função que desempenhavam, necessitavam apenas de treinamento técnico. De acordo com o contexto das organizações contemporâneas, o gerente agiu incorretamente na situação apresentada, pois

um programa de capacitação gerencial deve visar à adequação do perfil do indivíduo a um perfil gerencial ideal.

A denominada abordagem institucional tem proporcionado um alargamento da compreensão a respeito das organizações formais à medida que incorpora à análise organizacional elementos conceituais provenientes de diversos domínios do conhecimento. Acerca da abordagem institucional no contexto atual, julgue o item a seguir.

Instituições são arranjos puramente racionais, pois buscam maximizar o alcance de objetivos predeterminados.

A denominada abordagem institucional tem proporcionado um alargamento da compreensão a respeito das organizações formais à medida que incorpora à análise organizacional elementos conceituais provenientes de diversos domínios do conhecimento. Acerca da abordagem institucional no contexto atual, julgue o item a seguir.

O desempenho institucional é uma função do grau de satisfação de stakeholders relevantes.