Considere !$ \{ z_t \, : t \in Z \} !$ um processo estocástico ARIMA (0, 1, 1) satisfazendo !$ z_t-z_{t-1}=a_t- \theta a_{t-1} !$, em que !$ |\theta|<1 !$ e !$ a_t !$ são variáveis aleatórias normais, independentes e identicamente distribuídas, com média zero e variância !$ \sigma_a^2 !$. Definindo !$ w_t=z_t-z_{t-1} !$, julgue os itens abaixo.

!$ \hat z_t(k)=E(z_{t-k}|z_t, \, z_{t-1}, \, ...) !$ é o preditor de erro médio quadrático mínimo de !$ z_{t+k} !$, com base na informação{z_t, z_t-1, ...} e, para !$ k \ge 2 !$, !$ \hat z_t(k)= \hat z_t (k-1) !$.

Considere X um vetor aleatório cuja distribuição !$ P_{\theta} !$ é conhecida a menos de um parâmetro real !$ \theta !$, T = T(X) uma estatística suficiente e !$ \delta=\delta(X) !$ um estimador de !$ \theta !$ com !$ E_{\theta}[L(\theta, \delta(X))] < \infty !$, em que !$ L(\theta, d) !$ é uma função perda, estritamente convexa, e !$ E_{\theta} !$ denota a esperança com respeito à distribuição !$ P_{\theta} !$. Um dos resultados fundamentais na teoria da estimação é o teorema de Rao-Blackwell, que estabelece, no contexto acima, que !$ \eta = \eta (X) !$, definido por !$ \eta (X)=E_{ \theta} [\delta(X)| T=T(x)] !$, é um estimador de !$ \theta !$ tal que, para todo !$ \theta !$

Em algumas aplicações desse teorema, utiliza-se a hipótese adicional da estatística suficiente T ser completa, o que significa que, se g é mensurável e !$ E_{\theta}[g(T)] \equiv 0 !$ , então !$ P_{\theta}(g(T)=0) \equiv 1 !$.

Com relação à situação descrita, julgue o seguinte item.

Só pode ocorrer a igualdade na relação I quando existe uma função mensurável h tal que

!$ P_{\theta} [ \delta(X)=h(T(X))] \equiv 1 !$

Considere !$ \{ z_t \, : t \in Z \} !$ um processo estocástico ARIMA (0, 1, 1) satisfazendo !$ z_t-z_{t-1}=a_t- \theta a_{t-1} !$, em que !$ |\theta|<1 !$ e !$ a_t !$ são variáveis aleatórias normais, independentes e identicamente distribuídas, com média zero e variância !$ \sigma_a^2 !$. Definindo !$ w_t=z_t-z_{t-1} !$, julgue os itens abaixo.

O estimador

!$ \hat \theta = {\sum \limits _{i=2}^n w_t w_{t-1} \over \sum \limits _{t=1}^n w_t^2} !$

é consistente no sentido fraco para estimar !$ \theta !$.

Suponha que !$ ( \Omega. \, A. \, P. ) !$ seja um espaço de probabilidade e que !$ \lbrace E_n \rbrace !$ seja uma sequência de eventos. Define-se os limites superior e inferior da sequência !$ \lbrace E_n \rbrace !$ pelas relações:

!$ \lim \sup E_n = \bigcap \limits_{n - 1}^{\infty} \bigcup \limits_{k = n}^{\infty} E_k !$ e !$ \lim \inf E_n = \bigcup \limits_{n - 1}^{\infty} \bigcap \limits_{k = n}^{\infty} E_k !$

Define-se, também, que !$ \lbrace E_n \rbrace !$ é uma sequência de eventos independentes se

!$ P (E_{j_1} \bigcap ...\bigcap E_{j_k}) = \prod \limits_{i=1}^{k} P (E_{j_1}) !$

para toda familia de índices !$ 1 \le j_1 < ... < j_k . !$ Com base nessas informações, julgue o item que se segue.

Se !$ \lim_{n \rightarrow \infty} \quad P (E_n) = 0 !$ e a série !$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} P (E_n \bigcup ( \Omega \setminus E_{n+1} )) !$for convergente, então !$ P (lim \, sup \, E_n) = 0 . !$

Deseja-se estudar, em nível nacional, a evolução do consumo, y, e da renda pessoal disponível, x. Com esse propósito, observam-se os pares (x1,y1) de renda pessoal disponível e consumo em um período de 100 trimestres. Postula-se que !$ y_t = a + \beta x_2 + u_t !$ para para t =1, ...,100. O ajuste de mínimos quadrados ordinários produziu um valor de R² em torno de 98% e uma estatística de Durbin Watson muito abaixo desse valor. Nesse contexto, questiona-se se a regressão é espúria e se realmente existe uma relação de co-integração entre consumo e renda pessoal disponível.

Julgue o item a seguir, utilizando, para isso, as tabelas abaixo.

Tabela I - Valores críticos para o teste de Diskey-Fuller (tendência linear)

Obs: Níveis probabilísticos indicados nas colunas.

W. A. Fuller. lntroduction to statiscal. Time Series, 1996.2^a ed.., p. 242.

Tabela II - Valores críticos para o teste de cointegração de Engel-Granger

Obs.: Níveis probabilísticos indicados nas colunas: m é o número de variáveis na equação de co-integração.

G. J Mackinnon. Estimation and inferrence is econometrics. 1993 p.722

Considere !$ e_t !$ o resíduo da regressão de mínimos quadrados de !$ y_t !$ em !$ x_t !$ e, suponha que a regressão de !$ \Delta e_t !$, em !$ e_{t-1} !$, sem intercepto, tenha produzido como estatística de Student do coeficiente de !$ e_{t-1} !$ o valor 4,6 e ainda que !$ y_t !$ e !$ x_t !$ são ambas I (1). Então da tabela do leste de Engel-Granger (tabela II), é correto concluir que !$ y_t !$ e !$ x_t !$ se co-integram.

O problema de estimação de modelos de regressão com variáveis dependentes defasadas aparece, entre outras situações, quando existe o fenômeno de ajuste parcial. Em uma versão simplificada dessa situação, tem-se, para !$ t = 1,2, ..., n, !$

em que é um valor ideal, não-observável, de uma variável econômica, e observa-se que satisfaz

em que são variáveis aleatórias normais e independentes, com média zero e variância Combinando as duas equações acima, obtém-se

em que Representando por os valores que minimizam á soma de quadrados , isto é, os estimadores de mínimos quadrados ordiriános de !$ a !$, !$ b !$ e !$ c !$ na equação I, definindo e assumindo, além das condições anteriores, que os valores são variáveis fixas, não-aleatórias, e que a matriz

converge a uma matriz !$ \sum !$, não-singular. julgue o seguinte item.

!$ \hat {b} !$é um estimador de !$ b !$, consistente no sentido fraco.

Deseja-se avaliar o comportamento da variável investimento em um conjunto de firmas. Nesse contexto, a partir de uma amostra aleatória de 10 firmas desse conjunto, observam-se. para cada firma !$ i = 1, ...., 10, !$ em cada ano !$ t = 1, ...., 20, !$ as variáveis investimento !$ y_{it} !$ lucro esperado !$ x_{1it} !$ e estoque de capital !$ x_{2it} !$. Para a evolução dos dados, postula-se o seguinte modelo de componentes de erro

!$ y_{it} = \beta_{0i} + \beta_1 x_{1it} + \beta_2 x_{2it} + \in_{it} . !$

As quantidades !$ \beta_1 !$ e !$ \beta_2 !$ são parâmetros e os componentes de erro !$ \in_{it} !$ são não-correlacionados entre firmas e ao longo dos anos para cada firma. Esses componentes apresentam esperança zero e variância constante !$ \sigma_{\in}^2 !$. Os componentes !$ \beta_{0i} !$ têm a representação !$ \beta_{0i} !$!$ = \eta + a !$, em que !$ a !$ é uma constante desconhecida e !$ \eta_1, ..., \eta_{10} !$ formam uma amostra aleatória de uma população com média zero e variância !$ \sigma_{\eta}^2 !$ . As realizações !$ \eta !$, são independentes dos erros !$ \in_{it} !$.

Com relação a essa situação, julgue o item que se segue.

Supondo que a regressão dos investimentos médios de cada firma, em uma constante, nas médias de lucro esperado, e nas médias de capital tenha produzido como erro médio quadrático !$ 144.365.00 \over 20 !$ e, sabendo-se que a estimativa de é 2.781.00 é correto concluir que a estimativa do componente de variância !$ \sigma^2_{\eta} !$ é menor que 6.000.00.

Um psicólogo deseja estudar o tempo (em minutos) que os empregados de uma companhia levam para realizar certa tarefa. Postula-se que os tempos na população considerada seguem uma distribuição normal com média !$ \mu !$ e variância !$ \sigma^2 !$, ambas desconhecidas. O psicólogo obteve uma amostra de !$ n = 100 !$ empregados e registrou o tempo que cada um deles precisou para realizar a tarefa. Para os 100 tempos registrados, obtiveram-se o valor médio !$ \overline {x} !$!$ = 6,25 !$ minutos e o desvio-padrão !$ s = 1 !$ minuto.

Valores selecionados da tabela normal

Se !$ X !$ tem distribuição normal padrão, as entradas representam a probabilidade !$ Pr (X \le z) !$.

Nessa situação e utilizando, caso seja necessário, os valores selecionados da tabela normal fornecidos acima, julgue o item a seguir.

Quando !$ \mu = 6,50 !$ e !$ \sigma^2 = 1 !$, a probabilidade de se observar um valor de !$ \overline {x} !$ menor ou igual a 6,25 é maior que 0,995.

Considere um espaço de probabilidade com uma família de sub-!$ \sigma !$-álgebras Suponha que cada contenha-os, eventos de com !$ P- !$probabilidade nula e que seja um processo de Wiener. Um processo populacional com taxa de crescimento sujeita ao efeito de uma pertubação aleatória origina um processo estocástico , definido pela relação

em que !$ r !$ e !$ a !$ são constantes, a segunda integral é definida no sentido de Ito e N₀ é uma variável aleatória positiva independente de W_t

Nessas condições, julgue o item seguinte.

Considere um espaço de probabilidade com uma família de sub-!$ \sigma !$-álgebras Suponha que cada contenha-os, eventos de com !$ P- !$probabilidade nula e que seja um processo de Wiener. Um processo populacional com taxa de crescimento sujeita ao efeito de uma pertubação aleatória origina um processo estocástico , definido pela relação

em que !$ r !$ e !$ a !$ são constantes, a segunda integral é definida no sentido de Ito e N₀ é uma variável aleatória positiva independente de W_t

Nessas condições, julgue o item seguinte.