Julgue o item que se segue.

Para cada !$ n \in \mathbb{N} !$, defina a função !$ f_n (x) = n^2 x (1 - x)^n !$, para !$ x \in [0,1] . !$ Então

!$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int _0 ^1 f_n (x) dx = \int _0^1 \lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x) dx !$

Dispondo de uma quantia de RS 100.000,00 em dinheiro para aplicar por um período de 30 dias, um indivíduo procura um consultor financeiro que lhe apresentou as seguintes opções de investimento:

A: 20% de imposto de renda sobre a rentabilidade obtida (não-aplicável em caso de rentabilidade negativa) + 1% do valor investido (taxa de administração), pago por ocasião da aplicação

B: taxa de administração de 20% da rentabilidade obtida (não-aplicável em caso de rentabilidade negativa).

As duas primeiras aplicações são feitas com intermediação de um banco, por isso a cobrança da Contribuição Provisória sobre Movimentação Financeira (CPMF). Em face das opções apresentadas, o indivíduo resolveu aplicar R$ 50.000,00 em ações, R$ 30.000,00 no mercado imobiliário e RS 20.000.00 na poupança. Transcorridos 30 dias, o indivíduo resgatou o dinheiro investido em todas essas aplicações e verificou que elas registraram, nesse período, os seguintes rendimentos:

Considerando que essa situação se passe em um ambiente não-inflacionário e que a cobrança da CPMF corresponda a 0,38% do montante resgatado, no caso de aplicações feitas em bancos, julgue o item abaixo.

Se tivesse aplicado todo o capital de R$ 100.000,00 na carteira de ações, o investidor teria contabilizado um prejuízo superior a 7% do montante investido.

Considere o subconjunto do espaço euclidiano

!$ \overline {B} (0,1) = \lbrace x = ( x_1,... x_m) \quad \in \mathbb{R}^m : \ | x \ |^2 = \sum \limits^m_{i = 1} x^2_i \le 1 !$

e a aplicação

!$ f : \overline {B} (0,1) \rightarrow \overline {B} (0,1). !$

Suponha que exista !$ \theta \ge 1 !$ tal que

!$ || f (x) - f (y) || \le || x - y ||^{ \theta}, \forall x, y \in \overline {B} (0,1). !$

Dado !$ n \in \mathbb{N}, !$ considere !$ f_n = \lambda_n f !$, em que !$ \lbrace \lambda_n \rbrace !$ é uma seqüência de números reais do intervalo !$ (0,1) !$ que satisfaz à condição !$ { lim \\ n^{ \rightarrow \infty} } \lambda_n = 1. !$

Com base nesses dados, julgue o item seguinte.

Para cada !$ n \in \mathbb{N}, f_n !$ tem um único ponto fixo, isto é, existe um único !$ \xi_n \in \overline {B} (0,1) !$ tal que !$ f_n (\xi_n) = \xi_n. !$

Cliente paga até 10,70% no cheque especial

Uma pesquisa mensal de taxas de juros bancários, feita entre 11 e 12 de janeiro de 2000 pela Fundação PROCON / SP, detectou que a maior taxa mensal do cheque especial chegou a 10,70%, nos bancos Real e Bandeirantes. No caso de empréstimo pessoal, a maior taxa atingiu os 5,50% ao mês, no Itaú e BCN. Nos quatorze bancos pesquisados, a taxa média mensal do cheque especial foi de 9,66% (inferior aos 9,69% de dezembro de 1999), enquanto a do empréstimo pessoal ficou nos 4,85% (em dezembro de 1999, ela foi de 4,98%).

No caso do cheque especial, verificou-se que a menor taxa de juros mensal foi praticada pela Caixa Econômica Federal e, quanto ao empréstimo pessoal, a pesquisa detectou que a menor taxa mensal (4,20%) foi praticada pelo BANESPA.

"Economia". In: Hoje em dia. 20/1/2000 (com adaptações).

O Banco Bandeirantes teria de reduzir a sua taxa de juros mensal do cheque especial praticada por ocasião da pesquisa em mais de 10% de seu valor para que ela se igualasse à taxa média mensal do cheque especial nos quatorze bancos pesquisados.

Considere !$ A = \, [a_{ij}] !$ uma matriz !$ n \times n !$ positiva, isto é, !$ a_{ij} > 0 !$ para todo !$ i !$ e !$ j !$. Considere ainda,

!$ L_+^{n-1} = \lbrace x = (x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n : x_i \ge 0,1 \le i \le n, \quad \mbox e \quad \sum \limits_{i = 1}^n x_i = 1 \rbrace !$

e a aplicação !$ T : \, L_+^{n-1}, !$ definida por !$ T (x) = [ \lambda (x)]^{-1} Ax !$, em que !$ A_x = A [x] !$ é o produto da matriz !$ A !$ pelo vetor coluna !$ [x]_{nx1} !$ e !$ \lambda (x) > 0 !$ é escolhido de forma que !$ T(x) \in L_+^{n-1} . !$

Se !$ B !$ é uma matriz !$ n \times n !$ com entradas não negativas, então !$ B !$ possui um autovalor !$ \lambda > 0 !$ e um autovetor de componentes não-negativas associados a !$ \lambda !$.

Considere o subconjunto do espaço euclidiano

!$ \overline {B} (0,1) = \lbrace x = ( x_1,... x_m) \quad \in \mathbb{R}^m : \ | x \ |^2 = \sum \limits^m_{i = 1} x^2_i \le 1 !$

!$ f : \overline {B} (0,1) \rightarrow \overline {B} (0,1). !$

!$ || f (x) - f (y) || \le || x - y ||^{ \theta}, \forall x, y \in \overline {B} (0,1). !$

Dado !$ n \in \mathbb{N}, !$ considere !$ f_n = \lambda_n f !$, em que !$ \lbrace \lambda_n \rbrace !$ é uma seqüência de números reais do intervalo !$ (0,1) !$ que satisfaz à condição !$ { lim \\ n^{ \rightarrow \infty} } \lambda_n = 1. !$

Com base nesses dados, julgue o item seguinte.

A função !$ f !$ possui pelo menos um ponto fixo, isto é, !$ f (\xi) = \xi !$ para algum !$ \xi \in \overline {B} (0,1). !$

Cliente paga até 10,70% no cheque especial

Uma pesquisa mensal de taxas de juros bancários, feita entre 11 e 12 de janeiro de 2000 pela Fundação PROCON / SP, detectou que a maior taxa mensal do cheque especial chegou a 10,70%, nos bancos Real e Bandeirantes. No caso de empréstimo pessoal, a maior taxa atingiu os 5,50% ao mês, no Itaú e BCN. Nos quatorze bancos pesquisados, a taxa média mensal do cheque especial foi de 9,66% (inferior aos 9,69% de dezembro de 1999), enquanto a do empréstimo pessoal ficou nos 4,85% (em dezembro de 1999, ela foi de 4,98%).

No caso do cheque especial, verificou-se que a menor taxa de juros mensal foi praticada pela Caixa Econômica Federal e, quanto ao empréstimo pessoal, a pesquisa detectou que a menor taxa mensal (4,20%) foi praticada pelo BANESPA.

"Economia". In: Hoje em dia. 20/1/2000 (com adaptações).

Em relação ao empréstimo pessoal, para se elevar a taxa de juros mensal praticada pelo BANESPA de 4,20% para 5,20%, seria necessário aumentar a taxa praticada por esse banco por ocasião da pesquisa em mais de 20% de seu valor.

!$ a \le x \le b, \quad \quad y_0 - \eta \le y \le y_0 + \eta , !$

para algum !$ \eta > 0. !$ Definindo !$ F(y) = {d \over dy} \int \limits_a^b f (x,y) dx !$ e !$ G(y) = \int \limits_a^b {\partial f \over \partial y} dx, !$ então !$ F(y_0) = G(y_0). !$

Considere !$ E !$ um espaço vetorial normado com norma !$ || \bullet || !$ e !$ E^* !$ o seu espaço dual, formado pelos funcionais contínuos !$ f : E \rightarrow \mathbb{R} !$, dotado da norma dual:

!$ F !$ for um subespaço vetorial de !$ E !$ tal que o fecho !$ \overline {F} !$!$ E !$, então um funcional !$ f \in E^* !$ será identicamente nulo se, e somente se, !$ f (x) = 0 !$ para todo !$ x \in F !$.