Suponha que o tempo de travessia utilizando a balsa A, que está atualmente em operação, entre dois municípios separados pelo rio Madeira, seja uma variável aleatória X, normal com média de 60 minutos e desvio padrão de 5 minutos. Existe a proposta de substituir A por uma nova balsa, B, suposta ser mais rápida do que A. Técnicos navais afirmam que o tempo médio de travessia por B é de 56 minutos, mantendo o desvio padrão em 5 minutos. Para testar tal afirmação, um teste de hipóteses foi proposto fazendo uso da seguinte suposição: Se Y representa a variável aleatória tempo de travessia por B, então Y tem distribuição normal com média μ minutos e desvio padrão 5 minutos. As hipóteses a serem testadas foram:

H₀: μ = 60 minutos versus H₁: μ = 56 minutos.

Nessas condições, com base em uma amostra aleatória de 25 travessias da balsa B e ao nível de significância de 5,5%, a probabilidade do erro do tipo II é, em %, igual a

Um psicólogo está interessado em avaliar o tempo médio μ exigido para a memorização de determinado material na população constituída por estudantes do ensino médio de certa cidade. Para isso tomou uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho n da referida população. Sejam:

X_i = tempo de memorização do i-ésimo indivíduo da amostra, i = 1.2, ..., n.

e

!$ \overline{X} = \dfrac{\begin{matrix} n \\ \sum & X_i \\ i=1 \end{matrix}}{n} !$

Sabe-se que:

I. O psicólogo deseja que !$ \overline X !$ não difira de μ por mais do que 1,4 minutos com probabilidade de 95%.

II. A variável aleatória X que representa o tempo de memorização de todos os indivíduos da referida população tem distribuição normal com desvio padrão de 5 minutos.

Nessas condições o valor de n deve ser igual a

As notas de matemática dos alunos que estão cursando o primeiro ano de ensino médio, em uma escola de Educação Tecnológica na cidade A, têm distribuição normal com média 6,25 e variância 1,0. Todos os alunos com nota inferior a 5,0 deverão participar de um curso de recuperação. Se a referida escola tem 1000 alunos no primeiro ano de ensino médio, o número esperado de alunos que deverão participar do curso de recuperação é igual a

Uma pesquisa teve como objetivo comparar, em determinada comunidade, os salários em número de salários mínimos (− SM) de indivíduos egressos de 3 diferentes áreas de formação: Biológicas, Humanas e Exatas. Para tanto, uma amostra aleatória, com reposição de 30 assalariados, 10 de cada uma das áreas citadas, foi retirada da população de assalariados com formação em uma dessas áreas, dessa comunidade. A tabela a seguir apresenta os salários médios e as respectivas variâncias amostrais (obtidas por meio de estimadores não viciados das variâncias populacionais) observados para cada uma das amostras.

Sendo μ_B, μ_H e μ_E as médias populacionais dos assalariados com formação, respectivamente, em Biológicas, Humanas e Exatas, nessa comunidade, o valor da estatística F (calculado) utilizado para testar a igualdade dessas três médias é igual a

Considere:

I. Um estimador não viciado da variância populacional, baseado em uma amostra aleatória X_i i = 1.2, ..., n, extraída dessa população é dado por !$ S² = \dfrac{\begin{matrix} n \\ \sum \\ i=1 \end{matrix} (X_i - \overline{X})²}{n} !$ , onde !$ \overline{X} = \dfrac{\begin{matrix} n \\ \sum & X_i \\ i=1 \end{matrix}}{n} !$.

II. Dados dois estimadores, e !$ \hat θ_1 !$ e !$ \hatθ_2 !$ de um parâmetro θ, diz-se que !$ \hatθ_1 !$ é mais eficiente que !$ \hatθ_2 !$ se a variância de !$ \hatθ_1 !$ for menor que a variância de !$ \hatθ_2 !$ .

III. O estimador !$ \hatθ !$ , baseado em uma amostra de tamanho n, de um parâmetro populacional θ é consistente se, à medida que n aumenta, o seu valor esperado converge para θ e a sua variância converge para zero.

IV. O nível de significância de um teste de hipóteses é a probabilidade de se cometer erro do tipo I.

Está correto o que consta APENAS em

Quatro alunos serão sorteados, ao acaso e com reposição, dentre os ingressantes em U, no ano de 2014. A probabilidade de que, exatamente, dois tenham optado por Exatas e sejam procedentes do ensino particular é igual a

Um aluno será selecionado, ao acaso, dentre os ingressantes em U, no ano de 2014. A probabilidade de ele ter optado por Humanas ou proceder de escola pública é, em %, igual a

Uma empresa utiliza a equação q = a + bp para prever a quantidade (q) de vendas por dia de um produto em função de seu preço unitário (p), em reais. Sabe-se que foi considerado o modelo linear q_i = α + βp_i + ∈_i , em que a e b são as estimativas de α e β, respectivamente, obtidas por meio do método dos mínimos quadrados e com base em 20 observações (p_i , q_i ) , i = 1, 2, 3, ..., 20.

Observação: ∈_i corresponde ao erro aleatório com as respectivas hipóteses do modelo regressivo linear simples.

Dados:

!$ \begin{matrix} 20 \\ \sum \\ i=1 \end{matrix} !$ !$ p_i=50, !$ !$ \begin{matrix} 20 \\ \sum \\ i=1 \end{matrix} !$ !$ q_i=160, !$ !$ \begin{matrix} 20 \\ \sum \\ i=1 \end{matrix} !$ !$ p_iq_i=380, !$ !$ \begin{matrix} 20 \\ \sum \\ i=1 \end{matrix} !$ !$ p_i^2=130 !$ e !$ \begin{matrix} 20 \\ \sum \\ i=1 \end{matrix} !$ !$ q_i^2=1378 !$.

Para testar a hipótese da existência de regressão, com a utilização do teste t de Student (T − teste), a um determinado nível de significância, foram formuladas as hipóteses H₀: β = 0 (hipótese nula) e H₁: β ≠ 0 (hipótese alternativa). O valor da estatística t (t calculado), usado para comparação com respectivo t tabelado é igual a

(considerar nos cálculos que !$ \sqrt{5} !$ !$ =2,24 !$ )

Seja uma distribuição estatística unimodal e a sua respectiva curva de frequência. Com relação aos conceitos e medidas de assimetria e curtose, considere:

I. A distribuição é assimétrica à esquerda se o valor da média for inferior ao valor da mediana e o valor da mediana for inferior ao valor da moda.

II. Caso a curva de frequência seja denominada de platicúrtica, então o valor da média é superior ao valor da moda.

III. Caso a curva de frequência seja denominada de leptocúrtica, significa que os dados da distribuição estão fortemente concentrados em torno do valor da moda.

IV. O coeficiente de curtose é sempre nulo, independente do método utilizado, caso seja detectado que a distribuição é simétrica.

Está correto o que consta em

Uma população é constituída de 80 números estritamente positivos em que se verifica apresentar um coeficiente de variação igual a !$ \dfrac{1}{3} !$ . Dado que a soma dos quadrados de todos estes 80 números é igual a 12.800, então a média aritmética destes números apresenta um valor igual a