Os clientes que utilizam um sistema podem ser classificados em três estados: -1, 0 e 1. Essa classificação é uma variável aleatória X cuja função de distribuição de probabilidade é definida como:

!$ P(x=k) \, = \, \begin {pmatrix} \dfrac {\theta} {2} \end {pmatrix}^{\mid k \mid} \, (1 \, - \, \theta)^{1- \, \mid k \mid}, !$ em que k = 1, 0 ou 1 e 0 < !$ \theta !$ < 1.

Considerando uma seqüência de variáveis aleatórias independentes X₁, ..., X_n, identicamente distribuídas como X, julgue o item a seguir.

Não há um estimador de momentos para !$ \theta !$.

Considere que o desempenho de um tipo de sistema seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição é dada por !$ F(x) \, = \, \dfrac {1} {1 \, + \, exp(-(x-\theta)/\lambda)} !$, em que !$ - \infty \, < \, \theta \, < \, + \, \infty \, !$ e !$ \lambda \, > \, 0 !$ são os parâmetros do modelo. Considere ainda que !$ D \, = \, \{x_1, \, ..., \, x_n \} !$ seja um conjunto de dados cujos elementos são n realizações independentes de X, e que Q₁, Q₂ e Q₃ são, respectivamente, o primeiro, a mediana e o terceiro quartil do conjunto de dados D.

Com relação a essas informações, julgue o item a seguir.

Uma estimativa de momentos para !$ \lamda !$ pode ser obtida em função da variância amostral.

Considere que o desempenho de um tipo de sistema seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição é dada por !$ F(x) \, = \, \dfrac {1} {1 \, + \, exp(-(x-\theta)/\lambda)} !$, em que !$ - \infty \, < \, \theta \, < \, + \, \infty \, !$ e !$ \lambda \, > \, 0 !$ são os parâmetros do modelo. Considere ainda que !$ D \, = \, \{x_1, \, ..., \, x_n \} !$ seja um conjunto de dados cujos elementos são n realizações independentes de X, e que Q₁, Q₂ e Q₃ são, respectivamente, o primeiro, a mediana e o terceiro quartil do conjunto de dados D.

Com relação a essas informações, julgue o item a seguir.

A média amostral !$ \sum_{i=1}^n \, \dfrac {x_i} {n} !$ segue uma distribuição aproximadamente normal.

Considere que o desempenho de um tipo de sistema seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição é dada por !$ F(x) \, = \, \dfrac {1} {1 \, + \, exp(-(x-\theta)/\lambda)} !$, em que !$ - \infty \, < \, \theta \, < \, + \, \infty \, !$ e !$ \lambda \, > \, 0 !$ são os parâmetros do modelo. Considere ainda que !$ D \, = \, \{x_1, \, ..., \, x_n \} !$ seja um conjunto de dados cujos elementos são n realizações independentes de X, e que Q₁, Q₂ e Q₃ são, respectivamente, o primeiro, a mediana e o terceiro quartil do conjunto de dados D.

Com relação a essas informações, julgue o item a seguir.

O parâmetro !$ \lambda !$ pode ser estimado em função do intervalo entre quartis Q₃ - Q₁.

Considere que o desempenho de um tipo de sistema seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição é dada por !$ F(x) \, = \, \dfrac {1} {1 \, + \, exp(-(x-\theta)/\lambda)} !$, em que !$ - \infty \, < \, \theta \, < \, + \, \infty \, !$ e !$ \lambda \, > \, 0 !$ são os parâmetros do modelo. Considere ainda que !$ D \, = \, \{x_1, \, ..., \, x_n \} !$ seja um conjunto de dados cujos elementos são n realizações independentes de X, e que Q₁, Q₂ e Q₃ são, respectivamente, o primeiro, a mediana e o terceiro quartil do conjunto de dados D.

Com relação a essas informações, julgue o item a seguir.

A estimativa de mínima variância para !$ \theta !$ é a média aritmética !$ \sum_{i=1}^n \dfrac {x_i} {n}. !$

Considere que o desempenho de um tipo de sistema seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição é dada por !$ F(x) \, = \, \dfrac {1} {1 \, + \, exp(-(x-\theta)/\lambda)} !$, em que !$ - \infty \, < \, \theta \, < \, + \, \infty \, !$ e !$ \lambda \, > \, 0 !$ são os parâmetros do modelo. Considere ainda que !$ D \, = \, \{x_1, \, ..., \, x_n \} !$ seja um conjunto de dados cujos elementos são n realizações independentes de X, e que Q₁, Q₂ e Q₃ são, respectivamente, o primeiro, a mediana e o terceiro quartil do conjunto de dados D.

Com relação a essas informações, julgue o item a seguir.

A média aritmética !$ \sum_{i=1}^n \, \dfrac {x_1} {n} !$ é a estimativa não tendenciosa para !$ \theta. !$

Considere que o desempenho de um tipo de sistema seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição é dada por !$ F(x) \, = \, \dfrac {1} {1 \, + \, exp(-(x-\theta)/\lambda)} !$, em que !$ - \infty \, < \, \theta \, < \, + \, \infty \, !$ e !$ \lambda \, > \, 0 !$ são os parâmetros do modelo. Considere ainda que !$ D \, = \, \{x_1, \, ..., \, x_n \} !$ seja um conjunto de dados cujos elementos são n realizações independentes de X, e que Q₁, Q₂ e Q₃ são, respectivamente, o primeiro, a mediana e o terceiro quartil do conjunto de dados D.

Com relação a essas informações, julgue o item a seguir.

A média !$ \dfrac {Q_1 \, + \, Q_3} {2} !$ é uma estimativa para !$ \theta. !$

Considere que o desempenho de um tipo de sistema seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição é dada por !$ F(x) \, = \, \dfrac {1} {1 \, + \, exp(-(x-\theta)/\lambda)} !$, em que !$ - \infty \, < \, \theta \, < \, + \, \infty \, !$ e !$ \lambda \, > \, 0 !$ são os parâmetros do modelo. Considere ainda que !$ D \, = \, \{x_1, \, ..., \, x_n \} !$seja um conjunto de dados cujos elementos são n realizações independentes de X, e que Q₁, Q₂ e Q₃ são, respectivamente, o primeiro, a mediana e o terceiro quartil do conjunto de dados D.

Com relação a essas informações, julgue o item a seguir.

Q₂ é uma estimativa para !$ \theta !$.

O quadro acima mostra os preços cobrados em função do número de horas trabalhadas em 12 projetos realizados por uma empresa de consultoria. Considere o modelo de regressão linear simples na forma Y_i = !$ \alpha !$ + !$ \beta !$X_i + !$ \varepsilon !$_i, em que !$ \varepsilon !$_i é o erro aleatório. Algumas estatísticas são dadas nas expressões a seguir.

!$ \sum_{i=1}^{12} \,\, \dfrac {Y_i} {12} \, = \, 13; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \sum_{i=1}^{12} \,\, \dfrac {X_i} {12} \, = \, 25; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \sum_{i=1}^{12} \,\, Y_i \, X_i \, = \, 6.442; \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \sum_{i=1}^{12} Y_i^2 \, = \, 2.964; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \sum_{i=1}^{12} \,\, X_i^2 \, = \, 14.736. !$

Considerando as informações acima, julgue o item a seguir.

No modelo de regressão linear, é correto afirmar que !$ \hat{\alpha} \, + \, 25 \hat{\beta} \, = \, 13, !$ em que !$ \hat{\alpha} !$ e !$ \hat {\beta} !$ são, respectivamente, as estimativas de mínimos quadrados para !$ \alpha !$ e !$ \beta !$.

O quadro acima mostra os preços cobrados em função do número de horas trabalhadas em 12 projetos realizados por uma empresa de consultoria. Considere o modelo de regressão linear simples na forma Y_i = !$ \alpha !$ + !$ \beta !$X_i + !$ \varepsilon !$_i, em que !$ \varepsilon !$_i é o erro aleatório. Algumas estatísticas são dadas nas expressões a seguir.

!$ \sum_{i=1}^{12} \,\, \dfrac {Y_i} {12} \, = \, 13; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \sum_{i=1}^{12} \,\, \dfrac {X_i} {12} \, = \, 25; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \sum_{i=1}^{12} \,\, Y_i \, X_i \, = \, 6.442; \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \sum_{i=1}^{12} Y_i^2 \, = \, 2.964; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \sum_{i=1}^{12} \,\, X_i^2 \, = \, 14.736. !$

Considerando as informações acima, julgue o item a seguir.

Considere que, para avaliar se o 12.º par de observações é um ponto de alavanca, um analista retira esse par do conjunto de dados e o modelo é ajustado novamente. Nesse caso, as medidas de influência C de Cook e C_p de Mallow baseiam-se na comparação entre os resultados do modelo inicial com o modelo ajustado sem o 12.º par de observações.