Dada a integral

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!$ \int_c^{ }\left(e\ \dfrac{x^3}{5}+5z\ \right)dx\ +\left(\ e^y+2x\right)dy+\left(3y+z\right)dz !$ onde C é dado por !$ y\ (t) !$ = (3cost, 3sent, 1) com !$ t\ ∈\ \left[0,2\pi\right]. !$

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O resultado obtido é

Uma aplicação para transformações lineares é a criptografia. Ao enumerar cada letra do alfabeto de 1 a 26:

E em seguida separam-se as letras das palavras dadas dois a dois, por exemplo: LI-NE-AR, formando três blocos que após substituição pela correspondência numérica serão as matrizes X (matriz coluna):

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!$ LI !$ :!$ \begin{vmatrix} 12 \\9 \end{vmatrix} !$ ; !$ NE !$:!$ \begin{vmatrix} 14\\5 \end{vmatrix} !$ e !$ AR: !$ !$ \begin{vmatrix} 1\\18 \end{vmatrix} !$

Feito isso, a mensagem dada é criptografada ao multiplicar a matriz A por cada uma das matrizes X obtendo uma listagem numérica em módulo (26).

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Sendo assim, considere o operador linear !$ T:\ ℝ^{^2}→ℝ^{^2} !$ dado por !$ T\left(X\right)=A.\ X, !$ onde !$ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{vmatrix} !$

é chamada de matriz codificadora. Supondo que tenha sido enviada uma mensagem já criptografada com uma palavra contendo quatro letras representadas pela numeração: 4-5-14-15 que significam o mesmo que “DENO”. Ao quebrar o código criptografado, obtemos:

Um dos modelos de dinâmica populacional é devido ao matemático Pierre-François Verhulst na década de 1840. Verhulst propõe que a população de uma certa espécie se estabiliza para um valor de limite máximo sustentável devido a limitação de recursos do meio no qual a população está inserida.

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A equação de Verhulst é dada por:

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!$ \dfrac{dP}{dt}λP\left(1-\dfrac{P}{k}\right),\ \ λ>o,\ k\ >\ 0\ e\ \ t\ \ \ge\ 0, !$

Considere para o tempo t=0 a população inicial P₀=P(0)=10. Além disso, considere λ=0,05 e k=1000.

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Nas condições do texto acima, o tempo em que a população se estabiliza em 800 é de aproximadamente:

37678

Considere o número !$ z=a+bi !$ , onde i é a unidade imaginária, e seu conjugado !$ \overline{z}= a - bi !$ com a e b números reais. Sobre a equação !$ z\overline{z}^{^2}+\dfrac{1}{z^2z}=2, !$ afirma-se que

Os números de Fibonacci são os números que pertencem a sequência formada pela seguinte relação de recorrência:

!$ \left\{\begin{matrix} & & F_{0} =1\\ & & F_{1}=1 \\ F_{n}= & F_{n-1} +F_{n-2},& n\geq 2. \\ \end{matrix}\right. !$

Sabendo que F₂₀ = 10946 e F₂₃ = 46368. O valor de F₂₄ é:

No IFSP Câmpus Caraguatatuba os alunos do curso de Licenciatura em Matemática observaram em um dia o fenômeno das marés em uma das praias da cidade e concluíram que ele era periódico. Com isso, descreveram com a função !$ h\left(t\right)=0,9+0,7sen\ \left(\dfrac{\pi}{6}t+\dfrac{\pi}{6}\right) !$ a altitude h do mar num determinado ponto entre às 2h e às 20h.

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Com base nessa função, podemos afirmar que a altura média do mar nesse dia foi de:

As discussões a respeito das relações matemáticas dos hoje conhecidos como “sólidos platônicos” são objeto de atenção nas aulas de Matemática do Ensino Médio, embora também seja item de reflexão no decorrer do Ensino Fundamental.

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Um professor de matemática do IFSP iniciou as atividades escolares com uma avaliação diagnóstica para identificar os conhecimentos dos alunos de sua turma de Ensino Médio, na qual propôs uma das tarefas mais comuns: a identificação do número de faces, vértices e arestas desses sólidos. De início, o professor solicitou aos alunos que completassem um quadro (indicado abaixo), no qual alguns elementos não foram fornecidos (entre eles, nomes dos poliedros e algumas quantidades de faces, vértices e arestas), mas indicados por letras. Além dos cinco sólidos platônicos, na última linha da tabela, o professor identificou um poliedro denominado “Surpresaedro”.

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Após os alunos completarem a tabela, o professor iniciou as discussões a respeito dos poliedros eurelianos (em que a Relação de Euler é válida). Na sequência, os alunos foram questionados sobre qual(is) poliedro(s) indicado(s) pode(m) ser(em) classificados como poliedros eurelianos.

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Considerando a ordem dos elementos não fornecidos no quadro (A, B, C, D, E, F) e o questionamento a respeito da classificação como poliedros eurelianos, a única alterativa correta é

Ao trabalhar com a representação geométrica de equações em uma turma do Ensino Médio, por meio do software GeoGebra, um professor propôs a seguinte tarefa:

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1) Construa a circunferência cuja equação normal é λ : x² + y² − 2x − 4y + 4 = 0

2) Construa as retas s : 3x + 4y + 4 = 0 e t : 2x + 6y = 4

3) Em seguida encontre a posição entre a circunferência λ e as retas s e t.

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No decorrer das construções no GeoGebra, o professor escolheu duas imagens (antes da finalização da tarefa) com o intuito de problematizar as resoluções dos alunos. Essas discussões foram realizadas ao final da aula, no processo de sistematização da atividade. A seguir apresentamos as imagens escolhidas pelo professor:

Imagem 1: Exemplo de representação da circunferência

Imagem 2: Exemplo de representação das retas s e t

Considerando as escolhas do professor e os resultados corretos das atividades propostas, é correto afirmar que:

Uma das principais facetas da desigualdade racial no Brasil é a forte concentração de homicídios na população negra. Quando calculadas dentro de grupos populacionais de negros (pretos e pardos) e não negros (brancos, amarelos e indígenas), as taxas de homicídio revelam a magnitude da desigualdade. É como se, em relação à violência letal, negros e não negros vivessem em países completamente distintos. Os dados trazidos pelo Atlas da Violência 2018 vêm complementar e atualizar o cenário de desigualdade racial em termos de violência letal no Brasil já descrito por outras publicações. A tabela abaixo mostra a taxa de homicídios de negros e não negros no Brasil por 100 mil habitantes entre 2006 e 2016.

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Fonte: IBGE – Disponível em: http://www.ipea.gov.br. Acesso em: 24 nov. 2018 (adaptado).

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Pela tabela, conclui-se que

Um agricultor familiar da região do Vale do Ribeira possui um sítio com 45 bananeiras plantadas em linha reta e separadas por uma distância de um metro uma da outra. O agricultor consegue colher os cachos para um caminhão que está a 20 metros da primeira bananeira. A cada viagem, ele colhe cachos de três bananeiras começando e terminando no caminhão onde seu filho mais velho o auxilia na organização em caixas.

A distância total percorrida pelo agricultor até colher os cachos de todas as bananeiras é: