Sejam ABC um triângulo equilátero de lado 2 cm e r uma reta situada no seu plano, distante 3 cm do seu baricentro.

Calcule a área da superfície gerada pela rotação deste triângulo em torno da reta r.

Seja !$ f(x) \, = \, \mid 3 - log(x) \mid !$, !$ \mathbf{X} \, \epsilon \, \mathfrak{R}. !$

Sendo n um número inteiro positivo, a desigualdade !$ \mid \dfrac {f(X)} {4} \mid + \mid \dfrac {2f(X)} {12} \mid + \mid \dfrac {4f(X)} {36} \mid \, +..+ \, \mid \dfrac {2^{n-3}f(x)} {3^{n-1}} \mid + ... \le \, \dfrac {9} {4} !$

somente é possível se:

Considere o sistema abaixo, onde x₁, x₂, x₃ e Z pertencem ao conjunto dos números complexos.

!$ \begin {cases} (1 + i)x_1 \, - \, ix_2 \, + \, ix_3 \, = \, 0 \\ 2ix_1 \, - \, x_2 \, - \, x_3 \, = \, Z \\ (2i - 2)x_1 \, + \, ix_2 \, - \, ix_3 \, = \, 0 \end {cases} !$

O argumento de Z, em graus, para que x₃ seja um número real positivo é:

Sejam as funções !$ f: \, \mathfrak{R} \rightarrow \, \mathfrak{R,} \,\, g: \mathfrak{R} \, \rightarrow \, \mathfrak{R}, \,\, h: \mathfrak{R} \, \rightarrow \, \mathfrak{R}. !$

A alternativa que apresenta a condição necessária para que se f(g(x)) = f(h(x)), então g(x)=h(x) é:

Uma hipérbole de excentricidade !$ \sqrt{2} !$ tem centro na origem e passa pelo ponto !$ ( \sqrt{5}, \, 1). !$

A equação de uma reta tangente a esta hipérbole e paralela a y = 2x é:

A quantidade k de números naturais positivos, menores do que 1000, que não são divisíveis por 6 ou 8, satisfaz a condição:

Seja o polinômio p(x) = x³+ (ln a) x +e^b, onde a e b são números reais positivos diferentes de zero.

A soma dos cubos das raízes de p(x) depende

Seja S = 1² + 3² + 5² + 7²+ ....+ 79².

O valor de S satisfaz:

Seja ABC um triângulo de lados AB, BC e AC iguais a 26, 28 e 18, respectivamente.

Considere o círculo de centro O inscrito nesse triângulo.

A distância AO vale:

Considere o determinante de uma matriz de ordem n definido por:

!$ \Delta_n \, = \, \begin {vmatrix} 1 \,\,\,\,\,\,\,\, 1 \,\,\,\,\,\,\,\, 1 \,\,\,\,\,\,\,\, 1 \,\,\,\,\, ... \,\,\,\,\, 1 \,\,\,\,\, 1 \\ -1 \,\,\,\,\, 3 \,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, ... \,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, 0 \\ 0 \,\,\,\,\, -1 \,\,\,\,\, 3 \,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, ... \,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, 0 \\ 0 \,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, -1 \,\,\,\,\, 3 \,\,\,\,\, ... \,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, 0 \\ ......................... \\ 0 \,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, ... \,\,\,\,\, 3 \,\,\,\,\, 0 \\ 0 \,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\, ... \,\,\,\,\, -1 \,\,\,\,\, 3 \end {vmatrix} !$

Sabendo que !$ \Delta_1 \, = \, 1, !$ o valor de !$ \Delta_{10} !$ é