Seja a equação

!$ 7^{4x} - 10 ⋅ 7^{3x} + 17 ⋅ 7^{2x} + 40 ⋅ 7^x = 12 ⋅7 !$

Para cada uma das raízes reais não nulas dessa equação, constrói-se um segmento de reta cujo comprimento corresponde ao módulo do valor da raiz. A partir de todos os segmentos obtidos:

Há um torneio de xadrez com 6 participantes. Cada participante joga com cada um dos outros uma única partida. Não ocorrem empates. Cada participante tem 50% de chance de vencer cada partida. Os resultados são independentes. O vencedor em cada partida ganha um ponto e o perdedor zero. Deste modo, o total é acumulado para montar o ranking. No primeiro jogo do torneio José vence Maria. Se a probabilidade de José chegar à frente de Maria ao final do torneio é !$ { \large p \over q} !$, com !$ p !$ e !$ q !$ primos entre si, o valor de !$ p + q !$ é:

Seja !$ f : D \rightarrow \mathbb R\ !$ uma função onde
!$ D = \{ x∈ \mathbb R | x \ne 0 \ e \ x \ne 1\} !$ e que satisfaz a equação !$ f \left( { \large x - 1 \over x}\right) + f(x) - x = 2 !$. O valor de !$ f(2) !$ é:

Se !$ A !$ é a área da região !$ R\ !$ do plano cartesiano dada por

!$ R = \{(x, y) ∈ \mathbb R^2 | 2 \le x \le 10 \ e \ 0 \le y \le ln(x)\} !$,

então é correto afirmar que:

Seja a matriz !$ M = \begin{bmatrix} 1 & z \\ -z & \overline z \end{bmatrix} !$, onde !$ z !$ é o número complexo !$ z = cos \left ( { \large 4\pi \over 3}\right) + i \ sen \left ( { \large 4\pi \over 3}\right), \overline z !$ o seu conjugado e os ângulos estão expressos em radianos. O determinante de !$ M !$ é:

Uma sequência é gerada pelo produto dos termos correspondentes de duas progressões aritméticas de números inteiros. Os três primeiros termos dessa sequência são 3053, 3840 e 4389. O sétimo termo da sequência é:

Sejam !$ z_1 !$ e !$ z_2 !$ dois números complexos tais que !$ |z_1| = 4, |z_2| = 3 \ e \ |z_1 + z_2| = 6 !$. O valor de !$ |z_1 - z_2| !$ é:

Seja a função !$ f(x) = 2x^4 - 8x^3 + 4x - 7 !$. Considere uma reta qualquer que corta o gráfico dessa função em quatro pontos distintos: !$ (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \ e \ (x_4, y_4) !$. O valor de !$ { \large x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \over 2} !$ é:

Considere que !$ a \ne 0, b \ne 0 \ e \ (a + b) \ne 0 !$. Sabendo-se que !$ { \large a \over b} + { \large b \over a} = 3 !$, determine o valor de !$ { \large a^2 + b^2 \over 2(a + b)^2} !$.

Determine a soma dos coeficientes de !$ x^3 !$ na expansão de !$ (1 + x)^4 (2 - x^2)^5 !$.