A amostra aleatória X₁, X₂, …, X₉ foi extraída de uma população normal de tamanho infinito com variância !$ \sigma^2 !$ positiva e desconhecida. A partir dos valores observados, obteve-se !$ \textstyle \sum_{i=1}^9 \text{x}_i = 27 !$ e !$ \textstyle \sum_{i=1}^9 \text{x}_i^2 = 113 !$. Considere essas informações amostrais e as seguintes informações adicionais: P(Z < 1.28) = 0.90, P(Z < 1.64) = 0.95, P(T₈ < 1.40) = 0.90, P(T₈ < 1.86) = 0.95, P(T₉ < 1.38) = 0.90, P(T₉ < 1.83) = 0.95, P(T₁₀ < 1.37) = 0.90 e P(T₁₀ < 1.81) = 0.95; onde !$ Z !$ denota uma variável aleatória (v.a.) com distribuição normal-padrão e !$ T_k !$ denota uma v.a. com distribuição t-Student com !$ k !$ graus de liberdade. Assim, analise as afirmativas a seguir.

I. O limite unilateral inferior de nível 90% de confiança para a média !$ \mu !$ desta população é igual a 1.907.

II. Suponha que se queira testar as hipóteses H₀: !$ \mu !$ = 2 (hipótese nula) e H₁: !$ \mu !$ > 2 (hipótese alternativa). Então, pode-se dizer que o p-valor associado a este teste está entre 0.05 e 0.10 e, portanto, H₀ deve ser rejeitada ao nível de 10% de significância.

III. Se o valor verdadeiro de !$ \mu !$ é 2.5, então o poder do teste associado às hipóteses H₀: !$ \mu !$ = 2 (hipótese nula) e H₁: !$ \mu !$ > 2 (hipótese alternativa) corresponde à P(Z > 0.75).

Está correto o que se afirma em

Considere a tabela na qual são apresentados alguns dados obtidos de um pequeno levantamento acerca do interesse por planos de previdência privada em certa localidade. Esse estudo foi realizado mediante amostragem estratificada, com amostragem aleatória simples dentro de cada estrato, em que se mediu um índice de interesse (Y) para cada indivíduo entrevistado. Um resumo do levantamento é mostrado na tabela; observe.

No contexto deste estudo, assinale a afirmativa INCORRETA.

Para estimar a demanda por diárias (Y) em uma rede de hotéis de um dado destino turístico é elaborado um modelo de regressão Poisson, tendo como variáveis explicativas o preço médio da diária (P), a renda média dos turistas nacionais (N), a renda média dos turistas estrangeiros (E), o preço máximo da diária em destinos alternativos (A) e uma variável qualitativa que reflete o momento de alta ou baixa temporada (T). A variável resposta Y está medida em número de novas diárias contratadas; as covariáveis P, N, E e A estão medidas em reais e a covariável binária T assume o valor 1 se for período de alta temporada e, caso contrário, assume o valor 0. A média da variável resposta Y condicional nas covariáveis, denotada por !$ \mu !$, é modelada linearmente usando a função de ligação logarítmica através da seguinte expressão:

!$ ln(\mu_t) = \beta_0 + \beta_1 ln(P_t) + \beta_2(ln(P_t) * T_t) + \beta_3 ln(N_t) + \beta_4 ln(E_t) + \beta_5 ln(A_t) + \beta_6 T_t !$,

onde !$ ln !$ representa o logaritmo neperiano e = , … , . Considere, ainda, que uma amostra de tamanho tenha sido coletada e levou aos resultados apresentados na tabela:

Considerando que as estimativas anteriores são estatisticamente significativas, é correto afirmar que:

Após estimar, através do método de mínimos quadrados ordinários, um modelo de regressão linear múltipla do tipo !$ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \cdots + \beta_p X_{pi} + \varepsilon_i !$, onde !$ i = 1, ... , n !$ e !$ \varepsilon_i !$ são erros independentes e identicamente distribuídos com variância comum !$ \sigma^2 !$ tais que !$ \varepsilon_i \sim N (0, \sigma^2) !$, o pesquisador obteve a seguinte tabela contendo parte dos resultados da análise de variância; observe.

Apesar dos valores k, z e w omitidos na tabela, é possível marcar cada uma das seguintes afirmativas como sendo verdadeiras V ou falsas F.

( ) O tamanho da amostra é n = 20.

( ) O modelo de regressão associado ao problema tem seis parâmetros.

( ) O quadrado do coeficiente de determinação R² é igual a 0.36.

( ) A estimativa não-viesada para !$ \sigma !$ é igual a 160.

( ) Ao nível de significância de 5%, conclui-se que pelo menos uma das variáveis explicativas incluídas no modelo é significativa para explicar a variável dependente.

A sequência está correta em

Suponha que a variável dependente Y seja categórica do tipo binário: pertencer à População 1 ou pertencer à População 2. Sabe-se que o vetor aleatório !$ X = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix} !$ tem distribuição normal bivariada com vetor de médias dado por !$ \mu = \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix} !$ e matriz de covariâncias dada por !$ \varSigma = \begin{bmatrix} \sigma^2_1 & 0 \\ 0 & \sigma^2_2 \end{bmatrix} !$, sendo !$ \sigma^2_1 > 0 !$ e !$ \sigma^2_2 > 0 !$. Suponha, ainda, que pertencer à População 1 significa ter a distribuição de X₁ e que pertencer à População 2 significa ter a distribuição de X₂. De posse de um novo elemento amostral x₀ que não se sabe a qual população pertence (População 1 ou População 2), pode-se usar a análise discriminante para sua classificação. Diante do exposto, marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.

( ) Com base no princípio da máxima verossimilhança, uma regra de classificação pode ser definida a partir da razão de verossimilhança entre as duas populações, a qual, neste caso, fica dada por: !$ \lambda (x_0) = {\sigma_1 \over \sigma_2} exp \Bigl \{ -{1 \over 2} \Bigl [ \Bigl ( {x_0 - \mu_1 \over \sigma_1} \Bigr )^2 - \Bigl ( {x_0 - \mu_2 \over \sigma_2} \Bigr )^2 \Bigr ] \Bigr \} !$.

( ) Com base no valor observado para a função discriminante dada pela razão de verossimilhança apropriada, denotada por !$ \lambda !$(x₀), deve-se classificar o elemento x₀ como pertencente à População 1 se !$ \lambda !$(x₀) > 0 e, caso contrário, como pertencente à População 2.

( ) Se, em vez de termos Cov(X₁, X₂) = 0, tivéssemos Cov(X₁, X₂) = !$ \sigma !$₁₂, com !$ \sigma !$₁₂ ≠ 0, então a função discriminante baseada na razão de verossimilhança irá depender de !$ \rho !$, o parâmetro que representa a correlação linear entre as variáveis X₁ e X₂.

A sequência está correta em

O tempo total para a análise de um processo de auditoria que chega a um certo Instituto de Previdência é dado pela soma dos tempos gastos pelos 3 atuários responsáveis pela análise. Sejam X₁, X₂ e X₃ as variáveis aleatórias que representam os tempos, em dias, gastos para análise dos atuários 1, 2 e 3, respectivamente. Sabe-se que o vetor aleatório !$ X = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix} !$ tem distribuição normal multivariada com vetor de médias dado por !$ \mu = \begin{pmatrix} 10 \\ 11 \\ 9 \end{pmatrix} !$ e matriz de covariâncias dada por !$ \varSigma = \begin{bmatrix} 1.70 & 0 & 0 \\ 0 & 1.35 & 0 \\ 0 & 0 & 0.95 \end{bmatrix} !$, onde os valores do vetor !$ \mu !$ são dados em dias e os da matriz !$ \varSigma !$ em (dias)². Um processo de auditoria é selecionado aleatoriamente dentre todos os processos que chegam àquele instituto. Seja !$ \varPhi !$(!$ z !$) = !$ P !$(!$ Z \le z !$), onde !$ Z \sim N !$(0, 1). Então, pode-se afirmar que a probabilidade do tempo total gasto para análise deste processo se situar entre 24 dias e 33 dias é igual a:

Sobre os métodos de estatística multivariada, é INCORRETO afirmar que:

De acordo com a teoria de amostragem, assinale a afirmativa INCORRETA.

Considere uma amostra aleatória de oito motoristas segurados por uma empresa e com apólices de seguro de automóveis semelhantes. Na figura evidenciada, a reta representa o ajuste de um modelo de regressão linear simples com Y = valor mensal do seguro e X = anos de experiência de direção, juntamente com os respectivos gráficos boxplot das variáveis:

Levando em consideração estes dados, assinale a alternativa INCORRETA.

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes com funções geradoras de momentos dadas, respectivamente, por:

!$ m_X (t) = {1 \over 1 - 5t} \text{, se } t < {1 \over 5}; \ m_Y(t) = {1 \over (1 - 5t)^2} \text{, se } t < {1 \over 5}. !$

Considerando que W = X + Y, é correto afirmar que o valor de E(W²) é: