A HISTORY OF PI

The history of Pi, says the author, though a small part of the history of mathematics, is nevertheless a mirror of the history of man. Petr Beckmann holds up this mirror, giving the background of the times when Pi made progress — and also when it did not, because science was being stifled by militarism or religious fanaticism. The mathematical level of this book is flexible, and there is plenty for readers of all ages and interests.

ABOUT THE AUTHOR

Petr Beckmann was born in Prague, Czechoslovakia, in 1924. Until 1963, he worked as a research scientist for the Czechoslovak Academy of Sciences, when he was invited as a Visiting Professor to the University of Colorado, where he decided to stay permanently as professor of electrical engineering.

Dr. Beckmann has authored 11 books and more than 50 scientific papers, mostly on probability theory and electromagnetic wave propagation. History is one of his side interests; another is linguistics (he is fluent in five languages and he has worked out a new generative grammar which enables a computer to construct trillions of grammatical sentences from a dictionary of less than 100 unprocessed words).

He also publishes a monthly pro-science, pro-technology, pro-free enterprise newsletter Access to Energy, in which he promotes the viewpoint that clean energy can be made plentiful, but that access to it is blocked by government interference and environmental paranoia.

BECKMANN, Petr. A History of Pi. New York: Barnes & Noble Books, 1983.

Um cilindro de altura !$ h !$ e raio !$ a !$, com água até uma certa altura, gira com velocidade angular !$ \omega !$ constante. Qual o valor máximo de !$ \omega !$ para que a água não transborde, sabendo que neste limite a altura !$ z !$ (ver figura) é igual a !$ h/3 + \omega^2a^2/(4g) !$? Dado: num referencial que gira com o cilindro, e, portanto, considerando a força centrífuga, todos os pontos da superfície da água têm mesma energia potencial.

Uma esfera de massa !$ m !$ tampa um buraco circular de raio !$ r !$ no fundo de um recipiente cheio de água de massa específica !$ \rho !$. Baixando-se lentamente o nível da água, num dado momento a esfera se desprende do fundo do recipiente. Assinale a alternativa que expressa a altura !$ h !$ do nível de água para que isto aconteça, sabendo que o topo da esfera, a uma altura !$ a !$ do fundo do recipiente, permanece sempre coberto de água.

Não há hoje no mundo, em qualquer domínio de atividade artística, um artista cuja arte contenha maior universalidade que a de Charles Chaplin. A razão vem de que o tipo de Carlito é uma dessas criações que, salvo idiossincrasias muito raras, interessam e agradam a toda a gente. Como os heróis das lendas populares ou as personagens das velhas farsas de mamulengo.

Carlito é popular no sentido mais alto da palavra. Não saiu completo e definitivo da cabeça de Chaplin: foi uma criação em que o artista procedeu por uma sucessão de tentativas e erradas.

Chaplin observava sobre o público o efeito de cada detalhe.

Um dos traços mais característicos da pessoa física de Carlito foi achado casual. Chaplin certa vez lembrou-se de arremedar a marcha desgovernada de um tabético. O público riu: estava fixado o andar habitual de Carlito.

O vestuário da personagem –fraquezinho humorístico, calças lambazonas, botinas escarrapachadas, cartolinha – também se fixou pelo consenso do público.

Certa vez que Carlito trocou por outras as botinas escarrapachadas e a clássica cartolinha, o público não achou graça: estava desapontado. Chaplin eliminou imediatamente a variante. Sentiu com o público que ela destruía a unidade física do tipo. Podia ser jocosa também, mas não era mais Carlito.

Note-se que essa indumentária, que vem dos primeiros filmes do artista, não contém nada de especialmente extravagante. Agrada por não sei quê de elegante que há no seu ridículo de miséria. Pode-se dizer que Carlito possui o dandismo do grotesco.

Não será exagero afirmar que toda a humanidade viva colaborou nas salas de cinema para a realização da personagem de Carlito, como ela aparece nessas estupendas obras-primas de humour que são O Garoto, Ombro Arma, Em Busca do Ouro e O Circo.

Isto por si só atestaria em Chaplin um extraordinário dom de discernimento psicológico. Não obstante, se não houvesse nele profundidade de pensamento, lirismo, ternura, seria levado por esse processo de criação à vulgaridade dos artistas medíocres que condescendem com o fácil gosto do público.

Aqui é que começa a genialidade de Chaplin. Descendo até o público, não só não se vulgarizou, mas ao contrário ganhou maior força de emoção e de poesia. A sua originalidade extremou-se. Ele soube isolar em seus dados pessoais, em sua inteligência e em sua sensibilidade de exceção, os elementos de irredutível humanidade. Como se diz em linguagem matemática, pôs em evidência o fator comum de todas as expressões humanas. O olhar de Carlito, no filme O Circo, para a brioche do menino faz rir a criançada como um gesto de gulodice engraçada. Para um adulto pode sugerir da maneira mais dramática todas as categorias do desejo. A sua arte simplificou-se ao mesmo tempo que se aprofundou e alargou. Cada espectador pode encontrar nela o que procura: o riso, a crítica, o lirismo ou ainda o contrário de tudo isso.

Essas reflexões me acudiram ao espírito ao ler umas linhas da entrevista fornecida a Florent Fels pelo pintor Pascin, búlgaro naturalizado americano. Pascin não gosta de Carlito e explicou que uma fita de Carlito nos Estados Unidos tem uma significação muito diversa da que lhe dão fora de lá. Nos Estados Unidos Carlito é o sujeito que não sabe fazer as coisas como todo mundo, que não sabe viver como os outros, não se acomoda em meio algum, –em suma um inadaptável. O espectador americano ri satisfeito de se sentir tão diferente daquele sonhador ridículo. É isto que faz o sucesso de Chaplin nos Estados Unidos. Carlito com as suas lamentáveis aventuras constitui ali uma lição de moral para educação da mocidade no sentido de preparar uma geração de homens hábeis, práticos e bem quaisquer!

Por mais ao par que se esteja do caráter prático do americano, do seu critério de sucesso para julgamento das ações humanas, do seu gosto pela estandardização, não deixa de surpreender aquela interpretação moralista dos filmes de Chaplin. Bem examinadas as coisas, não havia motivo para surpresa. A interpretação cabe perfeitamente dentro do tipo e mais: o americano bem verdadeiramente americano, o que veda a entrada do seu território a doentes e estropiados, o que propõe o pacto contra a guerra e ao mesmo tempo assalta a Nicarágua, não poderia sentir de outro modo.

Não importa, não será menos legítima a concepção contrária, tanto é verdade que tudo cabe na humanidade vasta de Carlito. Em vez de um fraco, de um pulha, de um inadaptável, posso eu interpretar Carlito como um herói. Carlito passa por todas as misérias sem lágrimas nem queixas. Não é força isto? Não perde a bondade apesar de todas as experiências, e no meio das maiores privações acha um jeito de amparar a outras criaturas em aperto. Isso é pulhice?

Aceita com estoicismo as piores situações, dorme onde é possível ou não dorme, come sola de sapato cozida como se se tratasse de alguma língua do Rio Grande. É um inadaptável?

Sem dúvida não sabe se adaptar às condições de sucesso na vida. Mas haverá sucesso que valha a força de ânimo do sujeito sem nada neste mundo, sem dinheiro, sem amores, sem teto, quando ele pode agitar a bengalinha como Carlito com um gesto de quem vai tirar a felicidade do nada? Quando um ajuntamento se forma nos filmes, os transeuntes vão parando e acercando-se do grupo com um ar de curiosidade interesseira. Todos têm uma fisionomia preocupada. Carlito é o único que está certo do prazer ingênuo de olhar.

Considere que !$ 1\, mol !$ de uma substância sólida está em equilíbrio com seu respectivo líquido na temperatura de fusão de −183 °C e a 1 atm. Sabendo que a variação de entalpia de fusão dessa substância é !$ 6,0\,kj·mol^{-1} !$, assinale a opção que apresenta a variação de entropia, em !$ J·K^{-1}·mol^{-1} !$.

Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles !$ ABC !$ em torno de uma reta paralela à base !$ \overline{BC} !$ que dista !$ 0,25 \mbox{ cm} !$ do vértice !$ A !$ e !$ 0,75 \mbox{ cm} !$ da base !$ \overline{BC} !$. Se o lado !$ \overline{AB} !$ mede !$ {\sqrt {\pi^2+1 } \over 2 \pi }\mbox{ cm} !$ , o volume desse sólido, em !$ \mbox{ cm}^3 !$, é igual a

A HISTORY OF PI

The history of Pi, says the author, though a small part of the history of mathematics, is nevertheless a mirror of the history of man. Petr Beckmann holds up this mirror, giving the background of the times when Pi made progress — and also when it did not, because science was being stifled by militarism or religious fanaticism. The mathematical level of this book is flexible, and there is plenty for readers of all ages and interests.

ABOUT THE AUTHOR

Petr Beckmann was born in Prague, Czechoslovakia, in 1924. Until 1963, he worked as a research scientist for the Czechoslovak Academy of Sciences, when he was invited as a Visiting Professor to the University of Colorado, where he decided to stay permanently as professor of electrical engineering.

Dr. Beckmann has authored 11 books and more than 50 scientific papers, mostly on probability theory and electromagnetic wave propagation. History is one of his side interests; another is linguistics (he is fluent in five languages and he has worked out a new generative grammar which enables a computer to construct trillions of grammatical sentences from a dictionary of less than 100 unprocessed words).

He also publishes a monthly pro-science, pro-technology, pro-free enterprise newsletter Access to Energy, in which he promotes the viewpoint that clean energy can be made plentiful, but that access to it is blocked by government interference and environmental paranoia.

BECKMANN, Petr. A History of Pi. New York: Barnes & Noble Books, 1983.

O texto foi extraído de um(a)

A figura mostra um interferômetro de Michelson adaptado para determinar o índice de refração do ar. As características do padrão de interferência dos dois feixes incidentes no anteparo dependem da diferença de fase entre eles, neste caso, influenciada pela cápsula contendo ar. Reduzindo a pressão na cápsula de 1 atm até zero (vácuo), nota-se que a ordem das franjas de interferências sofre um deslocamento de !$ N !$, ou seja, a franja de ordem 0 passa a ocupar o lugar da de ordem !$ N !$, a franja de ordem 1 ocupa o lugar da de ordem !$ N+1 !$, e assim sucessivamente. Sendo !$ d !$ a espessura da cápsula e !$ λ !$ o comprimento de onda da luz no vácuo, o índice de refração do ar é igual a

Duas placas de um mesmo metal e com a mesma área de !$ 5,0\,cm^2 !$, paralelas e próximas entre si, são conectadas aos terminais de um gerador de tensão ajustável. Sobre a placa conectada ao terminal negativo, faz-se incidir radiação e, por efeito fotoelétrico, aparece uma corrente no circuito, cuja relação com a tensão aplicada é explicitada no gráfico. Sabendo que a função trabalho do metal é de !$ 4,1\,eV !$ e assumindo que na região de saturação da corrente todo fóton incidente sobre a placa gera um fotoelétron que é coletado, a medida da intensidade dessa radiação em !$ μW/cm^2 !$ é igual a

Um disco rígido de massa !$ M !$ e centro !$ O !$ pode oscilar sem atrito num plano vertical em torno de uma articulação !$ P !$. O disco é atingido por um projétil de massa !$ m \ll M !$ que se move horizontalmente com velocidade !$ \vec{v} !$ no plano do disco. Após a colisão, o projétil se incrusta no disco e o conjunto gira em torno de !$ P !$ até o ângulo !$ \theta !$. Nestas condições, afirmam-se: