Considere um triângulo \( ABC \) e \( M \) o ponto médio do lado \( \overline{BC} \). Tome o ponto \( R ≠ A \) na reta \( AB \) tal que \( m(\overline{AB})=m(\overline{BR}) \) e o ponto \( Q \) na reta \( AC \) tal que \( m(\overline{AC})=2m(\overline{CQ}) \) e \( Q \) não esteja no segmento \( AC \). A reta \( RM \) corta o lado \( \overline{AC} \) no ponto \( S \) e a reta \( QM \) corta o lado \( \overline{AB} \) no ponto \( P \). Sendo 24 a área do triângulo \( ABC \), o valor da área do quadrilátero \( AP \) \( MS \) vale:

Um poliedro convexo tem 24 vértices e 36 arestas. Sabemos que cada vértice une 3 faces e que o número de arestas em cada face só pode assumir um entre dois valores m ou n. É CORRETO afirmar que:

Considere um cilindro circular reto tal que a área da sua base \( A_1 \), a área da sua superfície lateral \( A_2 \) e o seu volume \( A_3 \) formem, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente. A medida do raio da base pode estar no intervalo:

O valor de \( k \) \( ∈ \) \( \mathbb{R} \) de modo que as raízes do polinômio \( p(x)=x^3+3x^2-6x+k \) estejam em progressão geométrica é:

Considere o conjunto \( C=\{1,2,3,4,5\} \). Para cada escolha possível de \( a_0 \), \( a_1 \), \( a_2 \), \( a_3 \), \( a_4 \) \( ∈ \) \( C \), dois a dois distintos, formamos o polinômio

\( a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 \).

A soma das raízes, contadas com multiplicidade, de todos os polinômios formados nesse processo é igual a:

Considere o conjunto:

\( A=\{1,2,4,8,16,32,64,128,256\} \).

Qual o menor \( n \) \( ∈ \) \( \mathbb{N} \) tal que todo subconjunto de \( A \) com \( n \) elementos contenha pelo menos um par cujo produto seja 256?

Determine o valor de

\( \cos \left( 2 \, arctg \left({\large{4 \over 3}} \right) \right) + \sin \left( 2 \, arctg \left({\large{4 \over 3}} \right) \right) \)

Sejam \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) \( ∈ \) \( M_n(\mathbb{R}) \). Considere o sistema linear

\( \begin{cases} AX=B \\DX+Y=C \end{cases} \)

nas variáveis \( X \), \( Y \) \( ∈ \) \( M_n(\mathbb{R}) \). Considere as afirmações:

I. Se detA = 0 ou detD = 0, então o sistema é impossível.
II. Se A = B, então o sistema possui uma única solução.
III. O sistema possui uma única solução apenas se A e D são inversíveis.

É (São) VERDADEIRA(S):

Sejam \( A \), \( B \), \( C \) \( \subseteq \) \( \mathbb{R} \) tais que \( C \) \( \subseteq \) \( A \). Considere as afirmações:

I. \( (A \cap B) \cup C=A \cap (B \cup C) \).

II. \( A \cap B = C \cup (B \cap ( \mathbb{R} - C)) \).

III. \( A \cap (B - C) = ( A \cap B)-C \)

É (São) VERDADEIRA(S):