Considere o seguinte modelo de regressão linear simples:

\(y_i = β_0 + β_1x_i + u_i \text{, i = 1,2, … n.}\)

Uma amostra aleatória com n = 24 observações de cada variável fornece as seguintes estatísticas

\(\begin{align*}\sum_{i=1}^{24} x_i &= 12 \\\sum_{i=1}^{24} y_i &= 48 \\ \sum_{i=1}^{24} x_i^2 &= 19 \\ \sum_{i=1}^{24} y_i^2 &= 200 \\\sum_{i=1}^{24} x_i y_i &= 50 \end{align*}\)

A reta de regressão estimada por MQO (Mínimos Quadrados Ordinários) a partir dessa amostra é:

Um modelo de regressão linear simples é estimado e verifica-se que uma (e apenas uma) das hipóteses básicas do modelo foi violada: a homoscedasticidade. Isso significa que a variância do termo de erro não pode ser considerada constante.
Nessa condição, NÃO existe mais garantia de que os estimadores de mínimos quadrados para os coeficientes do modelo sejam:

Uma amostra de 180 candidatos a uma vaga em um concurso público fornece os seguintes resultados, discriminados por quem fez e quem não fez algum tipo de curso preparatório:

Fez curso preparatório?	Média no Exame	Observações
Sim	90	60
Não	30	120

Considere o seguinte modelo de regressão linear, em que y_i é a nota do candidato i no exame e D_i é uma variável dummy que assume valor igual a um, caso o candidato tenha feito um curso, e igual a zero, caso contrário:
y_i = β₀ + β₁D_i + u_i , i = 1,2, … n.

A estimativa de MQO (Mínimos Quadrados Ordinários) para o coeficiente β₁ é:

Considere o modelo de séries temporais: Y_t = 1 + 0,5Y_t-1 + ε_t, em que ε_t é um ruído branco com média zero e variância igual a 3. A variância de Y_t, de acordo com o modelo proposto, vale:

Para esta questão, poderá ser necessário utilizar alguma(s) das seguintes probabilidades aproximadas da Normal padrão:

\(Z \sim N(0,1): \begin{align*} P(|Z|>0,5) &= 0,62, & P(|Z|>1) &= 0,32, \\ P(|Z|>1,2) &= 0,24, & P(|Z|>1,5) &= 0,14, \\ P(|Z|>2) &= 0,04, & P(|Z|>2,5) &= 0,01. \end{align*}\)

Dentre outras atribuições, o Ministério Público (MP) atua na proteção do meio ambiente, fiscalizando projetos que possam vir a comprometer a preservação dos recursos naturais e a sustentabilidade. Um órgão ambiental conjectura que pelo menos metade dos projetos relacionados ao meio ambiente que são analisados pelo MP apresentam algum tipo de irregularidade. Um analista decide, então, investigar essa conjectura/hipótese a partir de uma amostra aleatória de 64 projetos analisados pelo MP, adotando a seguinte regra de decisão: rejeitar a hipótese postulada caso 28 ou menos desses projetos sejam irregulares. Considerando essa regra de decisão, o nível de significância associado ao teste é, aproximadamente (atenção: desconsidere a correção de continuidade e tome 28 como referência para calcular o limite da região crítica do teste):

Sejam X e Y variáveis aleatórias que apresentam distribuição conjunta uniforme (ou seja, um valor de densidade constante) sobre a região: {(x,y) | 0 < x < 1, y > 0, x+y<1}. A variância de X é:

Seja um conjunto de variáveis aleatórias (v.a.’s) independentes {X₁, X₂, ..., X_n}, todas com distribuição de probabilidade:

\(f(x) = \begin{cases} cx^2 & 0 \le x \le 4 \\ 0 & \text{caso contrário} \end{cases}\)

em que c é uma constante a ser determinada. Defina-se uma nova v.a. Z = X² , gerando assim um novo conjunto {Z₁, Z₂, ..., Z_n}. A Lei dos Grandes Números garante que, à medida que o número n de v.a.’s cresce, aproximando-se do infinito (isto é, quando n → ∞), \(\overline{Z} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} Z_i}{n}\) convergirá em probabilidade para:

Os candidatos a uma vaga de emprego passam por três etapas em um processo seletivo: análise curricular, prova e entrevista, nessa ordem. Cada uma dessas etapas é eliminatória, ou seja, o candidato só passa para a etapa seguinte caso tenha sido aprovado na etapa anterior.
Suponha que as probabilidades de que o candidato seja aprovado em cada uma dessas etapas sejam 2/5 (análise curricular), 9/10 (prova) e 5/6 (entrevista).
Sabendo-se que um determinado candidato NÃO foi selecionado para a vaga, a probabilidade de que ele tenha obtido aprovação na primeira etapa desse processo seletivo é:

Uma importadora brasileira tem um fluxo de pagamentos de US$ 500.000,00 a cada trimestre. Preocupada com a alta do dólar, ela decide se proteger utilizando derivativos financeiros. Atualmente, o dólar está cotado a R$ 5,80, e a empresa pode utilizar dois instrumentos de hedge:
• contrato a termo de dólar a R$ 5,95 com vencimento em 3 meses;
• swap de taxa de câmbio, no qual a empresa paga CDI + 0,5% ao ano e recebe a variação do dólar. O CDI esperado para o trimestre é 2,4%.
Considerando que, no vencimento, o dólar estará R$ 6,10, é correto afirmar que:

Um fundo de investimentos possui uma carteira com valor de mercado igual a R$ 50 milhões, com um desvio-padrão diário estimado em 2,5% e um retorno médio diário de 0,1%. A gestora do fundo deseja calcular o VaR ao nível de confiança de 99%, assumindo uma distribuição normal para os retornos. Além disso, a gestora também avalia dois cenários de risco para os próximos 16 dias úteis:
• cenário pessimista: a volatilidade dobra (ou seja, o desvio-padrão diário passa a 5%);
• cenário extremo: a volatilidade triplica (ou seja, o desvio-padrão diário passa a 7,5%).
Com base nessas informações e considerando que Prob(z > 2,33) = 0,01, onde z ∼ N(0,1), o VaR diário e o VaR para os cenários projetados em 16 dias serão, respectivamente, iguais a: