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Considerando as dificuldades dos estudantes no processo de aprendizagem da resolução de equações do segundo grau, uma professora de Matemática resolveu utilizar-se da História da Matemática. Para isso, ela apresentou o trecho, a seguir, de um livro que indicava como Al-Khwarizmi resolvia esse tipo de equação.
Um quadrado mais dez raízes do mesmo é igual a trinta e nove. Qual é o quadrado?
A solução é a seguinte:
• Tome metade do número de raízes, obtendo cinco.
• Isto é multiplicado por si mesmo. O produto será vinte e cinco.
• Adicione isto a trinta e nove. A soma é sessenta e quatro.
• Tome então a raiz quadrada disso, que é igual a oito.
• Subtraia disto a metade do número de raízes que é cinco. A diferença é três.
• Esta é a raiz do quadrado procurado e o próprio quadrado é nove.
BEKKEN, O. Equações de Ahmes até Abel. Rio de Janeiro: Universidade Santa Úrsula, 1994.
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VAZ, R. F. N. Por que errar ainda é tão errado? Algumas reflexões sobre o papel do erro no ensino e na avaliação de matemática. Revemop, v. 4, 2022 (adaptado).
Considerando uma moeda e um dado não viciados, qual alternativa é utilizada por um professor como um contraexemplo para apresentar aos estudantes que a probabilidade da união de dois eventos não é sempre igual à soma das probabilidades desses eventos?
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Gráfico representado pela professora no GeoGebra
Qual deve ser a resposta dos estudantes?
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Na pesquisa de Cury e Bisognin, foi apresentada a seguinte questão aos estudantes:
O valor de dois carros de mesmo preço, adicionado ao de uma moto, soma R$ 41 000,00. No entanto, o valor de duas dessas motos, adicionado ao de um carro do mesmo tipo, é de R$ 28 000,00. A diferença entre o valor do carro e o da moto, em real, é:
a) 5 000 b) 13 000 c) 18 000 d) 23 000 e) 41 000
Figura 1: Questão sobre carros e motos.
As autoras classificaram as resoluções dadas em quatro categorias, indicadas pelas letras A, B, C e D.
Categoria A: identificou que o problema poderia ser modelado por um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, corretamente expressas, resolveu o sistema e apresentou a resposta correta.
Categoria B: identificou que o problema poderia ser modelado por um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, corretamente expressas, resolveu o sistema, mas errou alguns detalhes e não apresentou a resposta correta.
Categoria C: identificou que o problema poderia ser modelado por um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, corretamente expressas, mas não resolveu o sistema.
Categoria D: não modelou o problema.
CURY, H. N.; BISOGNIN, E. Análise de soluções de um problema
representado por um sistema de equações.
Boletim de Educação Matemática (BOLEMA), n. 33, 2009 (adaptado).
Em seu plano de aula, uma professora de Matemática definiu como objetivo a ser alcançado pelos seus estudantes: “modelar e resolver um sistema de equações de duas incógnitas”. Após discutir a resolução de um sistema de equações, a docente apresentou o problema da pesquisa de Cury e Bisognin e, no momento da avaliação, ela utilizou as quatro categorias para verificar se o objetivo de aprendizagem traçado foi alcançado.
Figura 3: Investigação da turma.
CURY, H. N.; BISOGNIN, E. Análise de soluções de um problema representado por um sistema de equações. Boletim de Educação Matemática (BOLEMA), n. 33, 2009 (adaptado).
Diante da representação, qual justificativa adequada a professora e os estudantes podem dar ao responder se é possível determinar os preços únicos para cada um dos veículos?
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Na pesquisa de Cury e Bisognin, foi apresentada a seguinte questão aos estudantes:
O valor de dois carros de mesmo preço, adicionado ao de uma moto, soma R$ 41 000,00. No entanto, o valor de duas dessas motos, adicionado ao de um carro do mesmo tipo, é de R$ 28 000,00. A diferença entre o valor do carro e o da moto, em real, é:
a) 5 000 b) 13 000 c) 18 000 d) 23 000 e) 41 000
Figura 1: Questão sobre carros e motos.
As autoras classificaram as resoluções dadas em quatro categorias, indicadas pelas letras A, B, C e D.
Categoria A: identificou que o problema poderia ser modelado por um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, corretamente expressas, resolveu o sistema e apresentou a resposta correta.
Categoria B: identificou que o problema poderia ser modelado por um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, corretamente expressas, resolveu o sistema, mas errou alguns detalhes e não apresentou a resposta correta.
Categoria C: identificou que o problema poderia ser modelado por um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, corretamente expressas, mas não resolveu o sistema.
Categoria D: não modelou o problema.
CURY, H. N.; BISOGNIN, E. Análise de soluções de um problema
representado por um sistema de equações.
Boletim de Educação Matemática (BOLEMA), n. 33, 2009 (adaptado).
Em seu plano de aula, uma professora de Matemática definiu como objetivo a ser alcançado pelos seus estudantes: “modelar e resolver um sistema de equações de duas incógnitas”. Após discutir a resolução de um sistema de equações, a docente apresentou o problema da pesquisa de Cury e Bisognin e, no momento da avaliação, ela utilizou as quatro categorias para verificar se o objetivo de aprendizagem traçado foi alcançado.
Um dos estudantes respondeu da seguinte forma:
Figura 2: Resolução do estudante.
Ao avaliar de maneira adequada a resolução do estudante, a professora concluiu que a resposta se enquadra na
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TEXTO 1
Os erros evidenciam dificuldades na aprendizagem, mas a ocorrência deles não deve ser apenas apontada ou penalizada; é preciso utilizá-los para promover a aprendizagem com estudos e pesquisas e a elaboração de estratégias de ensino baseadas nas dificuldades detectadas.
CURY, H. N. Análise de erros: uma possibilidade de trabalho em cursos de
formação inicial de professores. Anais do XI Encontro Nacional de
Educação Matemática, 2013. Disponível em: www.sbembrasil.org.br.
Acesso em: 8 maio 2025 (adaptado).
TEXTO 2
A tabela apresenta os resultados da rodada 6 do Campeonato Brasileiro de Futebol, série A, de 2025.
Disponível em: https://cbf.com.br. Acesso em: 10 maio 2025.
Assinale a intervenção pedagógica adequada para o professor que utiliza a análise de erros como metodologia de ensino, conforme a citação de Cury.
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TEXTO 1
Os erros evidenciam dificuldades na aprendizagem, mas a ocorrência deles não deve ser apenas apontada ou penalizada; é preciso utilizá-los para promover a aprendizagem com estudos e pesquisas e a elaboração de estratégias de ensino baseadas nas dificuldades detectadas.
CURY, H. N. Análise de erros: uma possibilidade de trabalho em cursos de
formação inicial de professores. Anais do XI Encontro Nacional de
Educação Matemática, 2013. Disponível em: www.sbembrasil.org.br.
Acesso em: 8 maio 2025 (adaptado).
TEXTO 2
A tabela apresenta os resultados da rodada 6 do Campeonato Brasileiro de Futebol, série A, de 2025.
Disponível em: https://cbf.com.br. Acesso em: 10 maio 2025.
Qual alternativa apresenta a orientação de um professor que utiliza a análise de erros como metodologia de ensino, para que o estudante compreenda seu erro e faça a respectiva correção?
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Como ilustração, uma professora apresentou aos estudantes de licenciatura em Matemática as figuras das iterações no cálculo da área sob o gráfico da função
no intervalo [0 , 2]. Ela observou que a área da região desejada pode ser aproximada por uma soma de áreas de retângulos de mesma base e que a aproximação fica melhor à medida que essas bases ficam menores.
Nas figuras, as bases dos retângulos medem
: Área aproximada sob a curva no intervalo [0, 2]: 1,6585
Método da exaustão para f (x) =
, n = 10 
Figura 1
Área aproximada sob a curva no intervalo [0, 2]: 1,6163
Método da exaustão para f (x) =
, n = 50 
Figura 2 Ao variar os valores de n, observa-se que a área desejada é obtida por meio do limite
1,6054 em que 
refere-se à área do retângulo com base 
e altura 
Qual alternativa expressa corretamente uma formalização para o cálculo da área desejada?
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Em um curso de formação docente, um professor de Matemática decide utilizar um modelo construído para esse problema em sua aula. Utilizando um software computacional, esboça os dados para o ano atual (t = 0) e a previsão obtida para t anos seguintes.
Com base nessas informações, qual é o ajuste de curva que modela o problema?
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Estudante A: Se dois vetores no plano não são múltiplos escalares um do outro, então não são paralelos. Isso também acontece no espaço.
Estudante B: No espaço, para que três vetores não sejam coplanares, basta que dois a dois não sejam paralelos.
Quanto à validade das conclusões desses estudantes,
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