A sequência de números racionais !$ { \large 3 \over 2}, { \large 7 \over 5}, { \large 17 \over 12}, \cdots !$ é obtida da seguinte maneira: para cada fração !$ t_n = { \large x_n \over y_n} !$, fração seguinte é dada por !$ t_{n + 1} = { \large x_n + 2y_n \over x_n + y_n} !$. Supondo que essa sequência se aproxima de um número real fixado, à medida que n cresce, podemos concluir que esse número é:

Astolfo e Genoveva são namorados. A cada três dias, Astolfo dá a Genoveva um buquê de rosas brancas. A cada cinco dias, ele dá a ela um buquê de rosas vermelhas. A cada oito dias, ele dá a ela um buquê de rosas amarelas. Ela recebeu rosas brancas no dia 22 de maio de 2022; rosas vermelhas, no dia 26 de maio de 2022; e amarelas, no dia 29 desse mesmo mês. Astolfo prometeu pedir a mão de Genoveva no dia em que esta recebesse os três buquês ao mesmo tempo pela terceira vez. Esse pedido ocorrerá no dia:

A sequência !$ X_1 = 3, X_2 = 7, X_3 =13, X_4 =21, X_5 = 31, X_6 = 43 !$ etc. tem a seguinte propriedade: se, para cada !$ n \ge 1 !$, escrevemos !$ y_n = \chi_{n +1}- x_n !$, então a sequência !$ y_1 = X_2 - X_1 = 4, y_2 = X_3 - X_2 = 6, y_3 = X_4 - X_3 = 8, y=4 = X_5 - X_4 =10, y_5 = X_6 - X_5 =12 !$ etc. é uma progressão aritmética. A partir dessas informações, podemos afirmar que !$ x_{100} !$ é igual a:

As medidas dos lados de um polígono, expressas em metros, são números inteiros que estão em progressão aritmética. O perímetro desse polígono é 15m. O maior número de lados que esse polígono pode ter é:

As raízes da equação !$ x^3 - 21x^2 = mx - 216 =0 !$ estão em progressão geométrica. O valor do coeficiente é:

Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa é igual a 1m e um dos catetos mede 2m. O perímetro desse triângulo, em metros, é igual a:

A função !$ \int !$ é real e de uma variável real. Ela tem as seguintes propriedades:

I) !$ f(0) =1 !$

II) Para cada a real e para cada h também real, !$ { \large f( a+h) - f(a) \over h} =2 !$

Com essas informações, podemos afirmar que f(1011) é igual a:

Simplificando a expressão !$ \sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{ 7 - 5 \sqrt{2}} !$, obtemos o número:

No século III a.C., o notável matemático grego Arquimedes de Siracusa encontrou a seguinte estimativa para o número !$ \pi !$, dada por números racionais:

!$ { \Large { 223 \over 71}} < \pi < { \Large { 22 \over 7}} !$

No século V d.C., o matemático chinês Zu Chongzhi encontrou a aproximação !$ { \large 355 \over 113} !$ para o número !$ \pi !$. Podemos afirmar, corretamente, que a fração !$ { \large 355 \over 113} !$:

Pedro tem um copo de vidro com o formato de um cone circular reto. Ele deseja fazer uma marca nesse copo que indique em que nível o líquido deve ficar, dentro do copo, para que este esteja preenchido com a metade de seu volume total. A altura em que Pedro deve fazer a marca, medida desde o vértice do cone, corresponde, aproximadamente, a que percentual da altura total do cone? Use, se necessário, a seguinte informação: 126³=2000376.