Suponha que um determinado evento ocorra segundo um processo de Poisson com uma taxa de λ eventos por unidade de tempo.

Defina X como o número de eventos ocorridos em um intervalo de tempo [0,!$ t !$], ou seja, X segue a distribuição de Poisson com parâmetro (!$ \lambda !$!$ t !$), de modo que: !$ P !$!$ r !$!$ o !$!$ b !$(!$ X !$ = !$ x !$) = .

Logo, a !$ P !$!$ r !$!$ o !$!$ b !$(!$ X !$ ≥ !$ x !$) significa que ocorreram, pelo menos, !$ x !$ eventos entre [0,!$ t !$].

Seja T o instante em que ocorre o segundo evento, a função de densidade de probabilidade de T, para !$ t !$ ≥ 0, é:

Duas máquinas de empacotar, X e Y, estão reguladas de modo que cada pacote tenha média de 5 quilos e desvio padrão de 0,2 quilo.

Seja !$ \overline{X} !$ o peso médio dos pacotes enchidos pela máquina X e !$ \overline{Y} !$ o peso médio dos pacotes enchidos pela máquina Y.

Suponha que as máquinas operem de forma independente e que os pesos dos pacotes enchidos por elas sigam uma distribuição normal.

Selecionou-se uma amostra aleatória de 128 pacotes de cada máquina. A probabilidade de que a diferença entre os pesos médios não ultrapasse 5%, isto é, !$ P !$!$ r !$!$ o !$!$ b !$(−0,05 < !$ \overline{X} !$ − !$ \overline{Y} !$ < 0,05), é:

Considere uma amostra aleatória simples, !$ X !$_{!$ i !$} (ou seja, os !$ X !$_{!$ i !$} são independentes e identicamente distribuídos), de tamanho n, da distribuição geométrica, de tal forma que:

!$ P !$(!$ X !$ = !$ x !$) = !$ p !$ (1 − !$ p !$)^{!$ x !$−1}, !$ x !$ = 1,2,3, …

O estimador de máxima verossimilhança para !$ p !$ é !$ \dfrac{1}{X} !$.

O estimador de máxima verossimilhança para !$ P !$(!$ X !$ > 1) é:

Seja !$ X !$~!$ U !$!$ n !$!$ i !$!$ f !$!$ o !$!$ r !$!$ m !$!$ e !$(0,2) e

h(!$ X !$) = !$ m !$á!$ x !$(1 − !$ X !$; !$ X !$) =

O valor esperado de h(!$ X !$) é:

Uma roleta honesta, composta por um disco dividido em 5 partes, com ângulos centrais do mesmo tamanho, está numerada com os algarismos -10, -1, 0, 1, 10, de modo que todos os números têm a mesma chance de serem selecionados. Roda-se a roleta duas vezes. Seja X o menor dos dois números selecionados e Y o maior deles.

A probabilidade de X ser menor ou igual a zero, dado que Y2 é igual a 1, é:

Um certo tipo de componente eletrônico tem 0,2% de chance de chegar adulterado em uma fábrica.

Um equipamento testa e detecta quando o componente é adulterado com probabilidade de 90% de acerto e indica a inexistência de adulteração com probabilidade de 98% de acerto.

Supondo que o teste foi aplicado em um componente e que o resultado foi positivo para adulteração, a probabilidade de esse componente ser realmente adulterado é, aproximadamente, de:

O quadro seguinte apresenta, parcialmente, os valores de uma série ordenada de 80 observações.

O 1º e o 3º quartis são, respectivamente, 5,8 e 7,3.

A soma dos quadrados das informações é 3.512.

Após a retirada dos valores atípicos pelo critério dos quartis, a nova série passou a ser simétrica.

O valor da variância dessa nova série é:

Suponha que desejamos testar o equilíbrio de longo prazo oriundo da paridade do poder de compra (PPP) entre dois países A e B, por meio da seguinte relação:

Onde é o logaritmo natural da taxa de câmbio nominal entre A e B, é o logaritmo natural do nível de preços do país A, é o logaritmo natural do nível de preços do país B, e !$ q !$!$ t !$ é o logaritmo natural da taxa de câmbio real.

Ao adotar a hipótese prevista na PPP de que é uma série estacionária, realiza-se um teste para verificar se as séries , e ∗ são cointegradas.

Para afirmar que há cointegração entre essas séries, é necessário que:

No que se refere aos modelos de regressão linear simples e múltipla, é correto afirmar que:

O ente federativo, a unidade gestora do Regime Próprio e o atuário responsável pela elaboração da avaliação atuarial deverão eleger conjuntamente as hipóteses biométricas, demográficas, econômicas e financeiras adequadas à situação do plano de benefícios e aderentes às características da massa de beneficiários do regime para o correto dimensionamento dos seus compromissos futuros, obedecidos os parâmetros mínimos de prudência estabelecidos pela legislação. Para tanto, são realizados testes para as opções de tábuas de mortalidade de válidos, de entrada em invalidez, de morbidez e de mortalidade de inválidos. Nesse contexto, um atuário realizou os testes de aderência de tábuas de mortalidade de inválidos de Kolmogorov-Smirnov (K-S) e de Qui-Quadrado (Q-Q) aplicados na massa de aposentados por invalidez vinculados a um plano de previdência, a fim de testar qual a tábua mais aderente ao plano, com base na experiência própria em um determinado período de observação, cujos resultados de p-valor são apresentados na tabela a seguir.

Considerando a interpretação estatística por teste de hipótese do resultado, é correto afirmar que: