Uma amostra aleatória simples de tamanho \( n=10 \), representada como \( X_1, ... , X_{10} \), é retirada sem reposição de uma população de tamanho N = 1000 com o objetivo de se estimar o total populacional (\( \tau \)), a média populacional (\( \mu \)) e variância populacional (\( \sigma^2 \)), que são definidas como

\( \tau = \sum\limits^{1000}_{i=1} x_i \)

\( \mu=\dfrac{1}{1000}\sum\limits^{1000}_{i=1}x_1 \)

\( \sigma^2=\dfrac{1}{999}\sum\limits{N}_{i=1}(x_i-\mu)^2 \)

em que \( x_1 \) denota a variável de interesse referente ao i-ésimo elemento da população.

Considerando que \( \overline{X}=\dfrac{1}{10}\sum\limits^{10}_{k=1}X_k \) denota a média amostral e que \( s^2=\dfrac{1}{9}\sum\limits^{10}_{i=1}(X_i - \overline{X})^2 \), julgue o item a seguir.

O estimador para o total populacional \( \tau \) é \( \tau=10\times \overline{X} \).

Uma amostra aleatória simples de tamanho \( n=10 \), representada como \( X_1, ... , X_{10} \), é retirada sem reposição de uma população de tamanho \( N=1000 \) com o objetivo de se estimar o total populacional (\( \tau \)), a média populacional (\( \mu \)) e variância populacional (\( \sigma^2 \)), que são definidas como

\( \tau = \sum\limits^{1000}_{i=1} x_i \)

\( \mu=\dfrac{1}{1000}\sum\limits^{1000}_{i=1}x_1 \)

\( \sigma^2=\dfrac{1}{999}\sum\limits{N}_{i=1}(x_i-\mu)^2 \)

em que \( x_1 \) denota a variável de interesse referente ao i-ésimo elemento da população.

Considerando que \( \overline{X}=\dfrac{1}{10}\sum\limits^{10}_{k=1}X_k \) denota a média amostral e que \( s^2=\dfrac{1}{9}\sum\limits^{10}_{i=1}(X_i - \overline{X})^2 \), julgue o item a seguir.

\( Var(\overline{X})=0,011\sum\limits^{10}_{i=1}(X_i-\overline{X})^2 \)

Considerando uma sequência de variáveis aleatórias discretas \( \{X_k\} \), em que \( P(X_k=-0,2^k)=P(X_k=0,2^k)=0,5 \), para \( k \in \{1,2,...\} \), julgue o item a seguir, com relação à soma \( S_n=\sum\limits^n_{k=1} X_k \).

Com base no teorema central do limite, se \( E[S_n] \) e \( Var[S_n] \) representam, respectivamente, a média e a variância de \( S_n \), então \( \dfrac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{Var[S_n]}}^D \rightarrow N(0,1) \) à medida que \( n \rightarrow + \infty \).

Considerando uma sequência de variáveis aleatórias discretas \( \{X_k\} \), em que \( P(X_k=-0,2^k)=P(X_k=0,2^k)=0,5 \), para \( k \in \{1,2,...\} \), julgue o item a seguir, com relação à soma \( S_n=\sum\limits^n_{k=1} X_k \).

O valor esperado de \( S_n \) é igual a zero.

Considerando uma sequência de variáveis aleatórias discretas \( \{X_k\} \), em que \( P(X_k=-0,2^k)=P(X_k=0,2^k)=0,5 \), para \( k \in \{1,2,...\} \), julgue o item a seguir, com relação à soma \( S_n=\sum\limits^n_{k=1} X_k \).

\( X_k \) segue distribuição uniforme discreta.

Suponha que uma amostra de tamanho n = 1 seja retirada de uma população \( X\sim Binomial (m,p) \), em que m e p são parâmetros desconhecidos. Sabendo que \( m \in \{1,2\} \) e que \( p \in \left\{\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{4}\right\} \), se a amostra aleatória simples for representada por \( X_1 \), considere a seguinte estatística para a estimação do par (m,p).

\( \tau (X_1)= \begin{cases} m=1 \, e \, p=\dfrac{1}{5}, \,\,\, se\, X_1=0;\\ m=2 \, e\, p=\dfrac{1}{4}, \,\,\, se\, X_1 = 1\, \text{ou} \, 2 \end{cases} \)

Com base nessas informações, julgue o próximo item.

Com base nessas informações, julgue o próximo item.

\( \tau (X_1) \) é uma estatística suficiente para a estimação do par de parâmetros (\( m,p \)).

Suponha que uma amostra de tamanho \( n = 1 \) seja retirada de uma população \( X\sim Binomial(m,p) \), em que \( m \) e \( p \) são parâmetros desconhecidos. Sabendo que \( m \in \{1,2\} \) e que \( p \in \left\{\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{4}\right\} \), se a amostra aleatória simples for representada por \( X_1 \), considere a seguinte estatística para a estimação do par (\( m,p \)).

\( \tau (X_1)= \begin{cases} m=1 \, e \, p=\dfrac{1}{5}, \,\,\, se\, X_1=0;\\ m=2 \, e\, p=\dfrac{1}{4}, \,\,\, se\, X_1 = 1\, \text{ou} \, 2 \end{cases} \)

Com base nessas informações, julgue o próximo item.

Se \( \mu \) denota a média populacional desconhecida, então seu espaço paramétrico é representado pelo conjunto \( \{\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{2}\} \).

Suponha que uma amostra de tamanho \( n = 1 \) seja retirada de uma população \( X\sim Binomial(m,p) \), em que \( m \) e \( p \) são parâmetros desconhecidos. Sabendo que \( m \in \{1,2\} \) e que \( p \in \left\{\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{4}\right\} \), se a amostra aleatória simples for representada por \( X_1 \), considere a seguinte estatística para a estimação do par (\( m,p \)).

\( \tau (X_1)= \begin{cases} m=1 \, e \, p=\dfrac{1}{5}, \,\,\, se\, X_1=0;\\ m=2 \, e\, p=\dfrac{1}{4}, \,\,\, se\, X_1 = 1\, ou \, 2 \end{cases} \)

Com base nessas informações, julgue o próximo item.

\( \tau (X_1) \) é estimador de máxima verossimilhança para o par de parâmetros (\( m,p \)).

Um empresário avalia a possibilidade de investir R$ 1.200.000,00 na abertura de uma filial de sua loja. Com base nas condições de mercado da cidade em que a nova filial será aberta, o setor comercial prevê um fluxo líquido anual de R$ 320.000,00 em cada um dos próximos 5 anos, que é o prazo usual com base no qual se realiza esse tipo de análises no setor em questão.

A respeito dessa situação hipotética e considerando a_{n | i} = [1 – (1 + i)^–n] / i como o fator de valor atual de uma série de n pagamentos postecipados uniformes à taxa de juros i, julgue o item a seguir.

O valor presente líquido do investimento, incluídas as previsões do fluxo líquido anual e dada uma taxa de retorno de 16% ao ano, é igual a 200.000 ∙ [10(1 – 1,16^–5) – 6] reais.

Um empresário avalia a possibilidade de investir R$ 1.200.000,00 na abertura de uma filial de sua loja. Com base nas condições de mercado da cidade em que a nova filial será aberta, o setor comercial prevê um fluxo líquido anual de R$ 320.000,00 em cada um dos próximos 5 anos, que é o prazo usual com base no qual se realiza esse tipo de análises no setor em questão.

A respeito dessa situação hipotética e considerando a_{n | i} = [1 – (1 + i)^–n] / i como o fator de valor atual de uma série de n pagamentos postecipados uniformes à taxa de juros i, julgue o item a seguir.

Qualquer que seja a taxa de retorno que o empresário exija, o valor presente líquido do investimento, considerados os fluxos anuais previstos, já se tornará positivo no quarto ano.