Seja !$ x_1,... ,x_n !$ uma amostra aleatória simples de uma distribuição de Bernoulli com parâmetro !$ p !$. Para testar a hipótese nula !$ H_0;p= !$ 0,5 contra a alternativa !$ H_1 !$: !$ p= !$ 0,25, utilizando a razão de verossimilhança !$ y^{(n)} !$, obter-se-á

Seja !$ X !$ uma variável aleatória com distribuição binomial !$ B !$(10, !$ p) !$, onde !$ p !$ !$ ∈ !$ (0,1). Suponha que se tenha somente uma observação !$ x !$ = 2. Assumindo que a distribuição a priori para p seja uniforme no intervalo (0, 1), os estimadores bayesianos para a média (!$ \hat{p}\overset{B}{m}édia !$ ) e para a moda (!$ \hat{p}\overset{B}{m}oda !$ ) da distribuição a posteriori, serão

Suponha que a variável aleatória !$ X !$ tenha distribuição binomial !$ B(n,p) !$ onde !$ n !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{N} !$ e !$ p !$ !$ ∈ !$ (0,1). Qual será a distribuição de !$ X !$ sabendo que o parâmetro !$ p !$ tem distribuição uniforme no intervalo (0,1)?

Considere uma amostra aleatória de 20 observações de uma população normal, com parâmetros desconhecidos !$ μ !$ (média) e !$ σ^2 !$ (variância). Ao utilizar os estimadores média amostral (!$ \bar{x} !$) e a variância amostral (!$ s^2 !$), o intervalo de confiança !$ IC_{1-a} !$ para parâmetro !$ μ !$ será dado por

Seja !$ X=(X_1,...,X_n) !$ uma amostra aleatória simples em que !$ X_1,...,X_n !$ são variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuídas que têm distribuição exponencial com taxa !$ λ !$ (ou média !$ λ^{-1} !$). Considerando !$ \hat{λ}=\dfrac{n-1}{\sum_{i=1}^n}X_i !$ como estimador para !$ λ !$, com !$ n !$ > 2, a informação de Fisher !$ I(θ)=E(\dfrac{∂lnf(x|θ)}{∂θ}) !$ e o teorema de Cramér-Rao permitem concluir que

Considere a situação em que não se tenha amostra piloto, mas que se pretenda utilizar um intervalo de 95% de confiança com margem de erro de 0,05. Nesse caso, qual deve ser o tamanho mínimo, !$ n !$, da amostra?

Considere o modelo de regressão linear múltipla !$ yi=a+b_1x_1+⋅⋅⋅+b_px_p+ε_i,\,i=1,...,n !$. Supondo que !$ ε_i !$ tem distribuição normal com média 0 e variância !$ σ^2 !$, pode-se escrever a função de verossimilhança e achar os estimadores de máxima verossimilhança !$ \widehat{Θ}_{ML}=(\hat{a}_{ML},\hat b_{1,ML,...,}\hat b_{p,ML})^T !$ e !$ \hat{σ}\overset{2}{M}L !$ . Ao usar o método de mínimos quadrados é possível obter os estimadores !$ \widehat{Θ}_{LS}=(\hat{a}_{LS},\hat b_{1,LS,...,}\hat b_{p,LS})^T !$. A relação entre esses estimadores é

Suponha que a distribuição conjunta do vetor !$ (X,Y) !$ é dada pela densidade !$ f(x,y|θ)=θ(θ+1)(1-x-y)^{θ-1}I_A(x,y) !$, em que !$ A= !${!$ (x,y):x,y !$ > 0,0 < !$ x+y !$ < 1}, !$ θ !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{N} !$ = {1,2, … }, e !$ I_A !$, !$ (x,y) !$ é função indicadora !$ I_A(x,y)= !$ 1, se !$ (x,y) !$, !$ ∈ !$ !$ A !$, e !$ I_A(x,y)= !$ 0, caso contrário. Supondo que se tenha somente uma observação !$ x= !$ 0,01 e !$ y= !$ 0,19, a estimativa de máxima de verossimilhança !$ \widehat{θ}_{MV} !$ é

Seja !$ X=(X_1,...X_n) !$ amostra aleatória simples em que !$ X_1,...,X_n !$ variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas cuja função densidade de probabilidade é dada por !$ f(x|θ)= !$ !$ \dfrac{3θ^3}{x^4}I_{[θ,∞)}(x),θ !$ > 0, em que !$ I_A(x) !$ é função indicadora: !$ I_A(x) !$ = 1, se !$ x !$ !$ ∈ !$ !$ A !$, e !$ I_A(x) !$ = 0, caso contrário. Acerca do estimador !$ \widehat{θ}_{MV} !$ de máxima verossimilhança para !$ θ !$, é correto afirmar que

Seja !$ K_b !$ uma classe de estimadores !$ θ^* !$ de parâmetro !$ θ !$ com viés !$ b(θ) !$ (considerando caso unidimensional). Pelo teorema de Rao- Blackwell pode-se construir um estimador “melhor” !$ θ\overset{*}{s} !$ com base em uma estatística suficiente !$ S=S(X) !$. Seja !$ X=(X_1,... ,X_n) !$ uma amostra aleatória da distribuição de Poisson com parâmetro !$ λ !$ e a estatística !$ S=\sum_{i=1}^nX_i !$ . Considere !$ θ^*=X_1 !$ como estimador de !$ λ !$ e o estimador “melhorado” !$ θ\overset{*}{s}=E_θ(θ^*|S) !$. Nesse caso, isso significa que