Seja !$ \widehat{θ}_{ML} !$ o estimador de máxima de verossimilhança no caso de uma amostra aleatória simples de tamanho !$ n !$ para o parâmetro !$ θ !$ da distribuição de Poisson. Utilizando uma distribuição a priori !$ p(θ) !$ proporcional à !$ θ^{a-1} !$ e !$ ^{-βθ} !$, onde !$ a !$ !$ \ge !$ 1 e !$ β !$ > 0, a razão entre os estimadores bayesianos para a média (!$ \widehat{θ}^B_{média} !$ ) e a moda (!$ \widehat{θ}^B_{moda} !$ ) é dada por

Considere uma amostra aleatória de 20 observações de uma população normal, com parâmetros desconhecidos !$ μ !$ (média) e !$ σ^2 !$ (variância). Ao utilizar os estimadores média amostral (!$ \bar{x} !$) e a variância amostral (!$ s^2 !$), o intervalo de confiança !$ IC_{1-a} !$ para parâmetro !$ μ !$ será dado por

Seja !$ X=(X_1,...,X_n) !$ uma amostra aleatória simples em que !$ X_1,...,X_n !$ são variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuídas que têm distribuição exponencial com taxa !$ λ !$ (ou média !$ λ^{-1} !$). Considerando !$ \widehat{λ} !$ !$ =\dfrac{n-1}{\sum_{i=1}^nX_i} !$ como estimador para !$ λ !$, com !$ n !$ > 2, a informação de Fisher !$ I(θ)=E(\dfrac{(∂Inf(x|θ)}{∂θ}) !$ e o teorema de Cramér-Rao permitem concluir que

Considere a situação em que não se tenha amostra piloto, mas que se pretenda utilizar um intervalo de 95% de confiança com margem de erro de 0,05. Nesse caso, qual deve ser o tamanho mínimo, !$ n !$, da amostra?

Considere o modelo de regressão linear múltipla !$ y_i=a+b_1x_1+^{...}+b_px_p+ε_i,i=1,...,n. !$ Supondo que !$ ε_i !$ tem distribuição normal com média 0 e variância !$ σ^2 !$, pode-se escrever a função de verossimilhança e achar os estimadores de máxima verossimilhança !$ \widehat{Θ}_{ML}=(\widehat{a}_{ML},\widehat{b}_{1,ML},...,\widehat{b}_{p,ML})^T !$ e !$ \widehat{σ}\overset{2}{ML} !$ . Ao usar o método de mínimos quadrados é possível obter os estimadores !$ \widehat{Θ}_{LS}=(\widehat{a}_{LS},\widehat{b}_{1,LS},...,\widehat{b}_{p,LS}) !$. A relação entre esses estimadores é

Considere o modelo de regressão linear simples !$ y_i=a+bx_i+ε_i,i=1,...,n !$. Nesse caso, o método de mínimos quadrados para os estimadores !$ \begin{pmatrix} \widehat{a}\\\widehat{b} \end{pmatrix} !$ depende do fator

Suponha que a distribuição conjunta do vetor !$ (X,Y) !$ é dada pela densidade !$ f(x,y|θ)=θ(θ+1)(1-x-y)^{θ-1}I_A(x,y) !$, em que !$ A= !$ {!$ (x,y):\,x,y !$ > 0, 0 < !$ x+y !$ < 1}, !$ θ !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{N} !$ = {1,2, … }, e !$ I_A !$, !$ (x,y) !$ é função indicadora !$ I_A(x,y)=1 !$, se !$ (x,y) !$ !$ ∈ !$ !$ A !$, e !$ I_A(x,y) !$ = 0, caso contrário. Supondo que se tenha somente uma observação !$ x= !$ 0,01 e !$ y= !$ 0,19, a estimativa de máxima de verossimilhança !$ \widehat{θ}_{MV} !$ é

Seja !$ X=(X_1,...,X_n) !$ amostra aleatória simples em que !$ X_1,...,X_n !$ variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas cuja função densidade de probabilidade é dada por !$ f(x|θ)=\dfrac{3θ^3}{x^4}I_{[θ,∞)}(x),θ !$ > 0, em que !$ I_A(x) !$ é função indicadora: !$ I_A(x)=1, !$ se x !$ ∈ !$ A, e !$ I_A(x)=0 !$, caso contrário. Acerca do estimador !$ \widehat{θ}_{MV} !$ de máxima verossimilhança para !$ θ !$, é correto afirmar que

Seja !$ K_b !$ uma classe de estimadores !$ θ !$* de parâmetro !$ θ !$ com viés b(!$ θ !$) (considerando caso unidimensional). Pelo teorema de Rao- Blackwell pode-se construir um estimador “melhor” !$ θ\overset{*}{s} !$ com base em uma estatística suficiente !$ S=S(x) !$. Seja !$ X=(X_1,...,X_n) !$ uma amostra aleatória da distribuição de Poisson com parâmetro !$ λ !$ e a estatística !$ S= !$ !$ \sum_{i=1}^N !$ !$ X_i !$ . Considere !$ θ !$* = !$ X_1 !$ como estimador de !$ λ !$ e o estimador “melhorado” !$ θ\overset{*}{s} !$ = !$ E_θ(θ*|S) !$. Nesse caso, isso significa que

A respeito das funções de distribuição de probabilidade de variáveis contínuas, assinale a alternativa correta.