Para testar se duas vacinas são igualmente eficazes, uma amostra aleatória simples, de tamanho 100, foi selecionada. Em metade dos indivíduos, foi aplicada a vacina 1 e, na outra metade, a vacina 2. Os resultados são apresentados na tabela de contingência a seguir.

O teste de homogeneidade realizado, sob a hipótese nula, tem aproximadamente distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade.

O valor dessa estatística para os dados apresentados é:

Foram extraídas, de duas populações normais, distintas, X e Y, duas amostras de 35 elementos cada.

A amostra da população X apresentou variância amostral igual a 104, o que produziu um intervalo bilateral de 95% de confiança para a variância amostral de, aproximadamente, [68; 176,8].

A amostra da população Y apresentou média amostral igual a 5 e coeficiente de variação amostral igual a 2.

Considerando todas as informações acima, o intervalo bilateral de 95% de confiança aproximado, para a variância da amostra oriunda da população Y, é de:

Em um teste de hipóteses, quando o intervalo de não rejeição da hipótese nula aumenta, o erro tipo I, o erro tipo II, a soma dos erros tipo I e tipo II e o nível de significância do teste, respectivamente:

Os noventa e nove percentis (P1, P2, . . ., P99) dividem os dados ordenados em cem partes com, aproximadamente, 1% dos dados em cada uma delas. Seja !$ X !$~!$ U !$!$ n !$!$ i !$!$ f !$!$ o !$!$ r !$!$ m !$!$ e !$(!$ a !$; !$ b !$), !$ b !$ > !$ a !$, e !$ p !$(!$ i !$) o i-ésimo percentil, !$ i !$ = 1,2, … ,99.

Uma expressão que fornece o !$ p !$(!$ i !$) dessa distribuição é:

Suponha que um determinado evento ocorra segundo um processo de Poisson com uma taxa de λ eventos por unidade de tempo.

Defina X como o número de eventos ocorridos em um intervalo de tempo [0,!$ t !$], ou seja, X segue a distribuição de Poisson com parâmetro (!$ \lambda !$!$ t !$), de modo que: !$ P !$!$ r !$!$ o !$!$ b !$(!$ X !$ = !$ x !$) = .

Logo, a !$ P !$!$ r !$!$ o !$!$ b !$(!$ X !$ ≥ !$ x !$) significa que ocorreram, pelo menos, !$ x !$ eventos entre [0,!$ t !$].

Seja T o instante em que ocorre o segundo evento, a função de densidade de probabilidade de T, para !$ t !$ ≥ 0, é:

Duas máquinas de empacotar, X e Y, estão reguladas de modo que cada pacote tenha média de 5 quilos e desvio padrão de 0,2 quilo.

Seja !$ \overline{X} !$ o peso médio dos pacotes enchidos pela máquina X e !$ \overline{Y} !$ o peso médio dos pacotes enchidos pela máquina Y.

Suponha que as máquinas operem de forma independente e que os pesos dos pacotes enchidos por elas sigam uma distribuição normal.

Selecionou-se uma amostra aleatória de 128 pacotes de cada máquina. A probabilidade de que a diferença entre os pesos médios não ultrapasse 5%, isto é, !$ P !$!$ r !$!$ o !$!$ b !$(−0,05 < !$ \overline{X} !$ − !$ \overline{Y} !$ < 0,05), é:

Considere uma amostra aleatória simples, !$ X !$_{!$ i !$} (ou seja, os !$ X !$_{!$ i !$} são independentes e identicamente distribuídos), de tamanho n, da distribuição geométrica, de tal forma que:

!$ P !$(!$ X !$ = !$ x !$) = !$ p !$ (1 − !$ p !$)^{!$ x !$−1}, !$ x !$ = 1,2,3, …

O estimador de máxima verossimilhança para !$ p !$ é !$ \dfrac{1}{X} !$.

O estimador de máxima verossimilhança para !$ P !$(!$ X !$ > 1) é:

Seja !$ X !$~!$ U !$!$ n !$!$ i !$!$ f !$!$ o !$!$ r !$!$ m !$!$ e !$(0,2) e

h(!$ X !$) = !$ m !$á!$ x !$(1 − !$ X !$; !$ X !$) =

O valor esperado de h(!$ X !$) é:

Uma roleta honesta, composta por um disco dividido em 5 partes, com ângulos centrais do mesmo tamanho, está numerada com os algarismos -10, -1, 0, 1, 10, de modo que todos os números têm a mesma chance de serem selecionados. Roda-se a roleta duas vezes. Seja X o menor dos dois números selecionados e Y o maior deles.

A probabilidade de X ser menor ou igual a zero, dado que Y2 é igual a 1, é:

Um certo tipo de componente eletrônico tem 0,2% de chance de chegar adulterado em uma fábrica.

Um equipamento testa e detecta quando o componente é adulterado com probabilidade de 90% de acerto e indica a inexistência de adulteração com probabilidade de 98% de acerto.

Supondo que o teste foi aplicado em um componente e que o resultado foi positivo para adulteração, a probabilidade de esse componente ser realmente adulterado é, aproximadamente, de: