Uma empresa aérea, analisando os seus dados históricos, sabe que aproximadamente 5% dos passageiros que fizeram reserva em um determinado voo não aparecerão (perderão o voo). Consequentemente, a política da empresa é vender 62 assentos para um voo que comporta apenas 60 passageiros. A empresa deseja, assim, saber qual é a probabilidade, P, de haver um assento disponível para cada passageiro que aparecerá na hora com a intenção de embarcar.

Um modo de se obter a média de uma variável aleatória é usando a sua distribuição cumulativa. Sabendo-se assim que a variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo (0,1), calcule o valor esperado da variável aleatória !$ X^3 !$, isto é: !$ E[X^3] !$.

Uma determinada empresa aérea tem sofrido atrasos nos seus voos devido à falta de programação a respeito das possíveis falhas que podem ocorrer nos seus aviões. Falhas frequentes incluem desde trincas nos trens de pousos até mesmo falhas imprevistas nas suas turbinas. Apesar de possuir um certo estoque de turbinas, não se sabe na empresa qual ou quais falhas ocorrerão primeiro. Decidiu-se então fazer um estudo e observou-se que os intervalos das falhas, tanto nas turbinas quanto nas trincas nas asas (que requerem manutenção, paralisando o uso dos aviões) ocorrem de acordo com taxas exponenciais, com intervalos de tempo de 15 dias para uma falha de turbina e de um mês para as trincas das asas. Em virtude do estoque das turbinas, uma falha em uma única turbina não é tão preocupante, mas falha em duas turbinas, mesmo que sejam em aviões diferentes, já podem atrasar os trabalhos das equipes de manutenção. Descreva os possíveis eventos do seguinte modo: !$ E_j^i !$, ou seja, !$ j !$ eventos ocorrem no processo !$ N_i(t) !$.

Desse modo, a empresa aérea quer saber o valor da seguinte probabilidade: !$ P(E_2^1 < E_1^2) !$. Mais especificamente, indique a probabilidade de duas turbinas falharem, antes que uma trinca nas asas, que requer manutenção, ocorra (j=2 e evento i=1 – falha das turbinas, e j=1 e evento 2 –trinca das asas).

Observação: a tabela abaixo fornece os valores críticos da distribuição F que delimitam a cauda direita (probabilidade = 2,5%)

Com o objetivo de utilizar as suas aeronaves de um modo mais eficiente, uma determinada empresa aérea deseja aplicar um mesmo modelo de otimização para as suas diferentes rotas. Entretanto, esse mesmo modelo só funcionará, principalmente, se as variâncias dessas diferentes rotas puderem ser consideradas as mesmas. Para simplificar, a empresa aérea decidiu comparar apenas duas das suas rotas, que possuem os seguintes dados anuais:

De acordo com os dados acima, foi realizado o seguinte teste de Hipóteses para um teste de significância !$ \alpha = 5\% !$

!$ H_0:\boldsymbol{\sigma}_1^2=\boldsymbol{\sigma}_2^2 !$

!$ H_1:\boldsymbol{\sigma}_1^2\ne\boldsymbol{\sigma}_2^2 !$

Além disso, os tamanhos das amostras usadas para se obter as médias e desvios-padrões acima foram de 25 e 30 para as amostras 1 e 2, respectivamente. Aplicando o teste de Hipótese, pode-se então concluir que:

Em um hangar de um aeroporto muito movimentado, os intervalos de chegadas das encomendas, tanto nacionais quanto internacionais, chegam de acordo com distribuições exponenciais. Além disso, esses intervalos entre chegadas ocorrem a uma média de !$ \mu_1=20 !$ segundos, sejam essas encomendas nacionais ou internacionais. A partir desses dados, deseja-se determinar qual a probabilidade de que, em um intervalo de um minuto, nenhuma encomenda nacional chegará ao hangar !$ \left (P(X_{\mbox{nacional}}=0) \right ) !$,e, também, nenhuma encomenda internacional chegará ao hangar !$ \left (P(X_{\mbox{internacional}}=0)\right ) !$. Sabe-se ainda que as probabilidades das encomendas serem classificadas como nacionais e internacionais são 2/3 e 1/3, respectivamente. (Caso seja necessário, use o valor de !$ e=\exp(1) = 2,72 !$).

Obs: seja !$ Z !$ a normal reduzida. Então: !$ P(Z < 2,33) = 0,99 !$

Suponha que a proporção de itens defeituosos em um grande lote de peças seja 0,1. Indique qual é o menor número de itens que deve ser retirado do lote para que a probabilidade seja de pelo menos 0,99 e que a proporção de itens defeituosos na amostra seja menor que 0,13.

Ao se realizar um estudo a respeito das falhas, decorrentes em um determinado tipo de avião, observou-se que a distribuição dessas falhas representada por X é normalmente distribuída com média μ = 5 e variância σ ² = 1,5. Devido aos altos custos incorridos na realização desta análise, observou-se que o estudo poderia ser generalizado, assumindo que os outros cinco tipos de aviões possuem a mesma distribuição normal. Desse modo, ao se agregar todos os seis tipos de aviões, pode-se concluir que a variável Y obtida desta agregação terá a seguinte média e desvio-padrão (μ _y e σ _y):

Com frequência é importante transformar modelos não lineares em modelos lineares. Sendo assim, o seguinte modelo exponencial, no qual as variáveis são x e, z ₁, z ₂ e, z ₃ e os demais termos b ₁, b ₂ e b ₃, são parâmetros dados:

!$ x = z{_1}^{3b_1} z{_2}^{5b_2}z{_3}^{4b_3} !$

Uma possível linearização do modelo dado é fazer t=log(x) e, y _i = log(z _i), para i=1,2,3. Após a aplicação dessa linearização, obtém-se a seguinte equação:

Uma empresa aérea observou a seguinte relação entre os seus custos (y) e o número de tripulantes (x) necessários para atender a uma determinada rota:

A partir dos dados acima, aplicando o método dos mínimos quadrados, ajuste uma reta aos dados e, a patir desta reta, determine qual é o custo para 16 unidades de tripulantes.

Considere a seguinte equação estocástica de segunda ordem: !$ y_t = 1,5 y_{t-1} – 0,5 y_{t-2} + \varepsilon _t !$. Encontre a solução homogênea para essa equação estocástica de segunda ordem dada.