Determine a soma dos algarismos do número N:

N = 2⁸ . 3 . 5⁹ . 7²

O esquema a seguir ilustra a planificação de um trecho urbano, onde aparecem os cruzamentos entre as vias. Sabe-se que as ruas X, Y e Z são paralelas. Algumas das distâncias, aproximadas, entre as ruas são exibidas na imagem.

Suponha que uma pessoa está no cruzamento entre as ruas Z e V e quer ir até o cruzamento entre as ruas Y e W. Para fazer isso ela tem dois caminhos: no primeiro deles a pessoa iria pela rua Z e viraria à esquerda na rua W até chegar ao ponto desejado. No segundo caminho a pessoa continuaria pela rua V e viraria à direita na rua Y até chegar a seu objetivo.

A diferença entre as distâncias percorridas no primeiro e no segundo caminhos pertence a qual dos intervalos a seguir?

Observação: figura ilustrativa e fora de escala.

O diretor de uma empresa estabeleceu que os cartões de visita da corporação tivessem o formato retangular, satisfazendo a seguinte condição: cada cartão deveria ter o comprimento 60% maior que a largura. Para fazer esses cartões, foi utilizada uma chapa de plástico PVC (policloreto de vinila) com área útil de 7018 cm². Com essa chapa foi possível fazer 145 cartões, sem que tivesse havido sobras, ou seja, toda a chapa foi utilizada.

Lembre-se que a área de um retângulo é dada por !$ A = b .h !$, em que !$ b !$ é a medida da base do retângulo e !$ h !$ sua altura.

Com base nessas informações, qual a largura e o comprimento desses cartões, respectivamente?

Sejam !$ x, y !$ e !$ z !$ três números reais positivos e distintos de zero. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) as sentenças abaixo. Em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.

I - ( ) Se !$ x, então !$ x+y

II - ( ) Se !$ x, então !$ -x < -z !$

III - ( ) Se !$ x < y < z !$, então !$ x . y < z . y !$

IV - ( ) Se !$ x, então !$ x^2< z^2 !$

Hiparco de Niceia viveu no século II a.C. e é considerado um dos grandes astrônomos da Antiguidade. Na área da Matemática, teve grande destaque ao introduzir, na Grécia, a divisão da circunferência em 360º. Além disso, seus estudos sobre o cálculo do comprimento das cordas de uma circunferência deram origem à primeira tabela trigonométrica de que se tem conhecimento. Dentre as contribuições de Hiparco para a Matemática, está aquela que define a corda de uma circunferência como sendo qualquer segmento de reta que liga dois pontos da circunferência. Quando a corda contém o centro da circunferência, ela é chamada de corda máxima ou diâmetro da circunferência.

Considere na circunferência a seguir que:

1. !$ \overline{AC} !$ é uma corda máxima;
2. é o centro da circunferência;
3. !$ \overline{OE} !$ = 5;
4. O ângulo !$ \beta !$ = 60º

Qual é a razão entre as medidas das cordas !$ \overline{BC} !$ e !$ \overline{AB} !$, respectivamente?

Observação: figura ilustrativa e fora de escala.

Determine os valores de !$ m !$ para que a equação abaixo possua duas raízes reais distintas.

!$ mx^2\ +\ mx\ -\ 4x\ +\ \dfrac{1}{2}\ =\ 0 !$

Uma equipe de cinco atletas tem média de altura igual a 1,72 m. Se mais uma pessoa com 1,78 m entrar para a equipe, qual será a nova média de altura?

Um triângulo retângulo possui catetos de medidas !$ a !$ e !$ b !$ e hipotenusa medindo !$ x !$ . Sabendo que !$ a+b=20 !$, determine o valor de !$ a . b !$ :

O principal elemento estrutural de um telhado de madeira denomina-se “tesoura”. Sua função é dar apoio às ripas de madeira que sustentam as telhas. Para cada tipo de telha, existe uma inclinação específica que pode ser medida em porcentagem ou em graus.

Na imagem a seguir, apresentamos um exemplo de uma tesoura utilizada no telhado de uma casa.

Fonte: adaptado de <https://pedreirao.com.br/>. Acesso em: 28 jul. 2019.

Observação: figura ilustrativa e fora de escala.

Considere que um pedreiro construirá uma tesoura como no esquema acima. A inclinação (θ) do telhado deve ser de 30º e o vão livre deve utilizar uma linha (representada por !$ \overline{AB} !$) de !$ 4\sqrt{3} !$ metros (aproximadamente 7 m) de comprimento. O pendural (representado por!$ \overline{CD} !$ ) deve formar um ângulo de 90º com a linha e ficar posicionado em um ponto que esteja à mesma distância de A e de B.

Considerando que as diagonais (representadas por !$ \overline{CE} !$ e !$ \overline{CF} !$ ) têm a mesma medida do pendural, qual a menor quantidade aproximada de madeira, em metros, necessária para fazer essa tesoura?

Sejam !$ a !$ e !$ b !$ dois números reais. Considere a operação “quadradinho” (■) definida por:

!$ a\ ■\ b\ =\ a^b+\ a\ .\ b\ +\ a+b !$

Determine o valor mínimo que a operação !$ x\ ■\ 2 !$ assume no conjunto dos números reais.