Considere a hipérbole 9 y²−16x²−144=0 e tome o ponto A seu vértice no eixo y positivo e o ponto E seu vértice no eixo y negativo.

Tome B e D, respectivamente, como os pontos com o maior e menor valor da coordenada y no lugar geométrico

x²+ y²−10x+9=0.

Tome C e F, respectivamente, como os pontos com o maior e menor valor da coordenada x no lugar geométrico

64x²+121y²−320x−1536=0.

Qual a área do polígono convexo ABCDEF?

Dadas as funções f e g definidas abaixo:

• \( f : R \rightarrow R, f (x) = x^2 + 5 \), com o gráfico de f restrito ao conjunto B x C tal que \( B = \{x∈ R; |x| \ge 3\} \) e \( C = \{y ∈ R; |y| \le 30\} \);
• \( g: R \rightarrow R, g(x) = x^2 \), com o gráfico de g restrito ao conjunto \( B \times D \) tal que \( B = \{x ∈ R; |x| \ge 3\} \) e \( D = \{y ∈ R; |y| \le 25\} \).

Calcule a área entre elas.

Sejam A₁ ,A₂ ,A₃ ,A₄ os quatro primeiros termos de uma progressão geométrica, respectivamente. Sejam a₁ ,a₂ ,a₃ ,a₄ os quatro primeiros termos de uma progressão aritmética, respectivamente, tais que:

A₁ =a₄–a₃

a₁ =A₁–5

a₂ =A₁ +1

a₄ +4(a₃–a₂)=A₂ +1

Sejam A_n o n-ésimo termo da p.g. e a_n o n-ésimo termo da p.a.

Logo, \( \dfrac{A_{10} A_{999}^5}{(a_{50} - 1) A_{1000}^5} \) é igual a:

A empresa de tecnologia Alfa-Ômega vai lançar um novo produto em formato de paralelepípedo, com base quadrada. Com o objetivo de maximizar o Lucro, as seguintes informações são fornecidas:

• O Preço Unitário, P_u, do novo produto é R$ 5.000,00.
• O Custo de Produção (C_p) corresponde ao valor gasto para se produzir um paralelepípedo com volume de 1.024 cm³. O custo da base e da tampa é de R$4,00/cm² e o custo das laterais é de R$2,00/cm².
• O Custo Variável C_v é estimado pela função \( C_v(q) = q^3 - \dfrac{125}{2} q^2 + (C_p + 4714) q - \dfrac{245623}{2} \), onde q é o número de peças produzidas.
• O Custo Total (C_t) é composto pelo Custo Variável (C_v) e um Custo Fixo (C_f) de R$ 15.000,00, conforme a fórmula: \( C_t(q) = C_v(q) + C_f \).
• A Receita é calculada por \( R(q) = q.P_u \) e o Lucro por \( L(q) = R (q) - C_t (q) \).

Considerando a maximização do Lucro, a partir da minimização de C_p, analise as afirmativas.

I – Para que C_p seja mínimo, as dimensões do novo produto devem ser 4cm x 4cm x 64cm.

II – Para maximizar o Lucro, considerando ReC_t, a produção deve ser de 5 unidades.

III – O Lucro máximo é de R$ 99.999,00.

IV – O valor da Receita que maximiza o Lucro é de R$ 125.000,00.

Assinale a opção correta.

Um reservatório cônico está sendo cheio a uma vazão de 2m³/s. O reservatório possui 9 metros de altura e sua base possui 6 metros de diâmetro. O quão rápido o nível da água está subindo quando a água estiver a 6 metros do topo?

Seja S a soma de todos \( t \in [0, 2\pi] \) que satisfazem a igualdade

\( 2 \sec^2(x) \cot^2(t) - 2 \cot^2(t) = A \cdot B \), onde

• \( A = [\tan^2(x) + \cos(2x) \tan^2(x)] \)
• \( B = [2 \cos^2(x) + \tan^2(x) - \cos(2x)] \),

tal que \( x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) \).

Seja \( V_E = \dfrac{S}{3} \) o volume da esfera E inscrita num cilindro C.

Seja K o sólido formado por dois cones inscritos em C, tal que cada uma das bases coincide com as bases inferior e superior de C e vértices comum no centro de E.

O sólido AC, chamado de Anticlépsidra, é a região interna de C e externa de K.

Seja \( V_{AC} \) o volume da Anticlépsidra e \( A_c \) a área total do cilindro C.

Qual é o valor de \( \dfrac{4 A_c}{V_{AC}} \)?

Seja X uma variável aleatória que representa altura, em centímetros, de alunos de um curso de estatística. Em uma amostra de oito alunos, observaram-se as alturas 160; 162; 179; 169; 162; 162; 175; 167. Utilizando a amostra observada, qual a média, a variância, a mediana e a moda da variável aleatória X, respectivamente?

Sejam \( \alpha, \lambda ∈ R \), \( I_{n\times x} \)a matriz identidade de ordem \( n \) e \( J_{n \times x} \) a matriz com todas entradas iguais a 1, com ordem n.

Qual o resultado do produto das matrizes \( B_{n \times n} X_{n \times 1} \), tal que vale a igualdade

\( A_{n \times n} + B_{n \times n} = \alpha I_{n \times n} + J_{n \times n} \)

com as seguintes propriedades:

• \( P_1: A_{n \times n} x_{n \times 1} = \lambda x_{n \times 1} \)
• \( P_2: \sum_{i=1}^n x_{i1} = 0; \quad x_{n \times 1} = \begin{bmatrix} X_{11} \\ X_{21} \\ \vdots \\ X_{n1} \end{bmatrix} \)

Calcule o volume do sólido reto com altura h=12 em que sua base é definida, no primeiro quadrante, abaixo dos gráficos das funções g e h e acima do gráfico da função f, onde

f (x)=x²−8x+17;

g(x)=x²−4x+9; e

h(x)=x²−12x+41.

No antigo reino de Algebrália havia um lendário artesão chamado Eudóxio, famoso por suas impressionantes criações geométricas. O rei de Algebrália desafiou Eudóxio a criar uma ponte suspensa, seguindo a curva da função \( f (x)=x^{3/2} \) entre os pontos (1,1) e (4,8). Para calcular a quantidade de material necessário, Eudóxio precisa determinar o comprimento exato dessa curva. Ajude Eudóxio, calculando o comprimento de arco da função \( f(x) \) entre os pontos fornecidos.