De acordo com a definição de Matriz de Markov, também conhecida como matriz estocástica ou de transição, observe as matrizes abaixo e assinale a alternativa correta:

I. !$ \begin{bmatrix}1/4 & 2/3 \\3/4 & 1/3 \end{bmatrix} !$

II. !$ \begin{bmatrix}0 & 1/2 & 1/4 \\1/2 & 1/2 & 1/2 \\1/2 & 0 & 1/2 \end{bmatrix} !$

III. !$ \begin{bmatrix}1/2 & 1/4 & 1\\1/2 & 1/2 & 0 \\1/2 & 0 & 0 \end{bmatrix} !$

IV. !$ \begin{bmatrix} 1/4 & -2/3 \\ 3/4 & -1/3 \end{bmatrix} !$

Suponha n provas de Bernoulli com P (sucesso) = p,0 < p < 1 e X o número de sucessos. Sendo n=6 e obtendo quatro sucessos e 2 fracassos, a função de verossimilhança é dada por !$ L(p)=p^4(1-p)^2 !$, assim o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro p da distribuição binomial é dado por:

O intervalo de credibilidade delimita, com probabilidade especificada, um conjunto de parâmetros plausíveis para o parâmetro de acordo com sua distribuição posterior marginal. É correto afirmar que:

Seja !$ \pi (θ)\sim \, Beta(\alpha, \beta) \quad \alpha, \beta > 0 !$ uma distribuição à priori e !$ f(x \mid θ)=Bin(n , θ) !$ uma função de verossimilhança,

Onde

!$ Beta(\alpha, \beta)={\large{r(\alpha \div \beta) \over r(\alpha)+r(\beta)}}θ^{\alpha - 1} (1- θ)^{(\beta-1)} !$ e !$ Bin \binom{n}{x} θ^x(\alpha - θ)^{n-x} !$

portanto, visto que as distribuições Beta e Binomial pertencem à mesma família, ou seja, são conjugadas, a distribuição posterior que se procura é dada por

Seja um processo ARMA(p,q) com função de autocorrelação definida por !$ ρ_k ≠ 0 !$ e função de autocorrelação parcial definida por !$ \phi_{kk} ≠0 !$ com !$ k=1,2,3, ... !$

I. !$ ρ_k ≠ 0 !$ para k=1,2 e 3 e !$ ρ_k =0 !$ para todos os outros valores de k.

II. !$ \phi_{kk} !$ é dado por exponenciais e/ou senoides amortecidas

Com base nas afirmativas (I) e (II), determina a ordem p e q desse processo

Seja o modelo autorregressivo AR(p), com ordem p=1 dado por !$ \tilde{Z}_t= \phi \tilde{Z}_{t-1}+a_t !$ de maneira que !$ \tilde{Z}_t !$ depende apenas de !$ \tilde{Z}_{t-1} !$ e do ruído no instante t, é correto afirmar que

Uma nova pesquisa deseja avaliar a possível associação entre fumar e desenvolver câncer de pulmão. Para tanto, os pesquisadores selecionaram 1000 casos aleatórios de câncer pulmonar registrados em hospitais da região e determinado se tais pacientes fumavam ou não. Foram também selecionados outros 1000 pacientes desses mesmos hospitais, porém que estavam internados por outras doenças que não câncer. O desenho desse estudo foi:

Em um hipotético estudo, deseja-se associar determinada característica com uma certa doença. Por intermédio de um estudo caso-controle, obteve-se os seguintes resultados:

Sob essas condições, podemos afirmar que:

Disciplinas com maior taxa de reprovação despendem uma atenção especial das Universidades Federais. Para mensurar a quantidade de turmas ofertadas para essas disciplinas, é de interesse das Universidades modelar a quantidade de vezes que cada aluno precisa se matricular na disciplina até sua aprovação. Considerando que as chances de aprovação são iguais para todos os alunos, qual é o modelo probabilístico adequado a essa situação?

Considere a Variável Aleatória Contínua X, com função densidade de probabilidade dada por !$ f(X)=x+2 !$, de definida no intervalo !$ 0 < X < 3 !$. Qual a esperança dessa variável aleatória contínua?